Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 6, Serie 11 (letzte) ) Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 14. Juli 2006

Aufgabe 1(Der Mittlerekrümmungs-Vektor ) Sei f : (M, g) → (ℝ^{n+1}, δ) eine Isometrische Immersion. Sei ν : U → T ℝ^{n+1} eine Wahl von Normale (U offen in M). Man Zeige: der Mittlerekrümmungs-Vektor H(x)ν(x) is unabhängig von der Wahl einer Normale. Insbesondere, die Mittlerekrümmungs-Fluss-Gleichung

\frac{∂f}{∂t} (x, t) = H(x, t)ν(x, t),

ist global Wohldefiniert (sie ist nicht von der Wahl einer lokale Normale abhängig).

Aufgabe 2 (Reskalierung von dem Mittlerekrümmungs-Fluss ) Sei f : M × [0, T) → (ℝ^{n+1}, δ) eine Lösung des Mittlerekrümmungs Flusses. Sei f̃: M × [0, T c^{2}) → (ℝ^{n+1}, δ)

f̃(x, t) := cf(x, \frac{t}{c^{2}} ).

Man Zeige: f̃ ist auch eine Lösung des Mittlerekrümmungs Fluss. Hinweis: berechnen Sie die Mittlerekrümmung von f̃ := cf für eine beliebige isom. Immersion f : (M, g) → (ℝ^{n+1}, δ), wobei c eine Konstante ist.

Aufgabe 3 (Mittlerekrümmungs-Fluss der Sphäre ) Sei f_{0} : (S^{m}, g) → (ℝ^{m+1}, δ) die Standard isometrische Einbettung der Sphäre in ℝ^{m+1}. Konstruieren sie explizit eine Lösung zur Mittlerekrümmungs Fluss von f_{0}. Hinweis: benutzen Sie den Hinweis von Aufgabe 2, wobei M die Sphäre ist, und f : (S^{m}, g) → (ℝ^{m+1}, δ) die Standard isometrische Einbettung der Sphäre in R^{m+1} ist.

Aufgabe 4 (Riemannsche Krümmungstensor ) Zeigen Sie die erste Bianchi Identität:

R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 18.07.2006 bis 9:15.