bungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 6, Serie 2 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 11. Mai 2006

Aufgabe 1 Existenz des Levi-Cevita Verbindungs Sei (M, g) eine Riemmansche Mannigfaltigkeit. Dann existiert es ein eindeutiger Zussamenhang auf M so dass

(i) ∇_{X}Y − ∇_{Y} X = [X, Y]∀X, Y ∈ X (M). (ii) X(g(Y, Z)) = g(∇_{X}Y, Z) + g(Y, ∇_{X}Z)∀X, Y, Z ∈ X (M). Siehe Theorem 1.12 von der Vorlesung, und die Skizze des Beweises von der Vorlesung. Aufgabe 2 Definition eines Vektorfeldes längs einer Kurve Sei X ein Vf. längs einer Kurve γ : I → M. Ist es immer möglich X(t) = Y (γ(t)) zu schreiben, wobei Y ∈ X (M)? Aufgabe 3 Eingenschaften der Kovarainte-Ableitung längs einer Kurve Sei \frac{D}{dt} wie in der Vorlesung definiert. Es gilt

(a) \frac{D}{dt}(X + Y) = \frac{D}{dt}(X) + \frac{D}{dt}(Y)∀X, Y ∈ X (I, M)

(b) \frac{D}{dt}(fX)(t) = f′(t)X(t) + f(t)\frac{D}{dt}(X)(t)∀X ∈ X (I, M), f ∈ C^{∞}(I, M)

(c) Falls X(t) = Y (γ(t)) für ein glattes Vektorfeld Y auf M, dann gilt: \frac{D}{dt}(X)(t) = ∇_{γ′(t)}Y

Aufgabe 4 Eindeutigkeit Sei \frac{D̂}{dt} ein operator die (a),(b) und (c) (von Aufgabe 3) erfüllt. Dann ist \frac{D̂}{dt} = \frac{D}{dt}

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer bungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 09.05.2006 bis 9:15.