Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 6, Serie 3 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 11. Mai 2006

Aufgabe 1 Lineare Gewöhnliche Differentialgleichungen

Seien A_{j}^{i} : [−a^{2}, b^{2}] → ℝ C^{∞} Funktionen, j, i ∈ {1, …, n}, X_{0} ∈ ℝ^{n} gegeben (b ≠ 0). Der Satz von Picard-Lindelof garantiert, dass ein ϵ > 0 und eine Lösung X ∈ C^{∞}([0, ϵ], ℝ^{n}) zu

(1) \{ \begin{matrix}\frac{dX^{i}}{dt} & = A_{j}^{i} · X^{j} \\ X(0) & = X_{0} \end{matrix}

existieren. Man zeige: Es existiert eine Lösung X ∈ C^{∞}([−a^{2}, b^{2}], ℝ^{n}) zu (1). Hinweis: Zeigen Sie, dass |X|, |X′|, …, |X^{m}| beschränkt auf [0, δ) sind (für beliebiges m ∈ ℕ), wobei [0, δ) der maximale Definitionsbereich der Lösung X ist (differenzieren Sie die Gleichung (1)).

Aufgabe 2 Kovarinate Ableitung mittels Paralleltransport

Sei M eine Mannigfaltigkeit, ∇ ein Zusammenhang auf M, p ∈ M, X_{p} ∈ T_{p}M und Y ein lokales Vektorfeld auf p ∈ U ⊂ M (U offen). Sei γ eine glatte Kurve mit γ(0) = p, γ′(0) = X_{p}. Dann gilt:

∇_{X_{p}}Y = lim_{t→0} \frac{1}{t}(^{γ}π_{0,−t}(Y (γ(t)) − Y (p)).

wobei ^{γ}π_{s,t} der Paralleltransport längs γ von γ(s) für eine Zeit t ist (wie in der Vorlesung: für t < 0 überlegen Sie, was die richtige Definition ist).

Aufgabe 3 Wohldefiniertheit der kovarianten Ableitung

Für S ∈ T_{s}^{r}(M) sei ∇S wie in der Vorlesung (Definition 1.25 ) definiert. Zeigen Sie, dass ∇S wohldefiniert ist. Aufgabe 4 Geodätische auf SO(n)

Betrachten Sie ℝ^{n×n} mit dem Skalarprodukt

⟨X_{p}, Y_{p}⟩ = tr(X^{t} · Y),

und auf SO(n) ⊂ ℝ^{n×n} die induzierte Metrik. Berechnen Sie eine Formel für γ_{X}(s) für X ∈ T_{Id}(SO(n)), wobei γ_{X} : ℝ → SO(n) die Geodätische durch Id ∈ SO(n) mit \frac{d}{dt}γ_{X}(0) = X ist.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 16.05.2006 bis 9:15.