Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 6, Serie 2 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 29. Mai 2006

Aufgabe 1 (Distanzfunktionen)

Eine Funktion f : M → ℝ mit ∥grad_{g} f∥_{g} ≡ 1 heißt Distanzfunktion. Zeigen Sie:

(a) Integralkurven von grad_{g} f sind Geodätische.

(b) Für eine stückweise C^{1}-Kurve c von p nach q gilt L_{g}(c) ≥ f(q) − f(p), mit Gleichheit genau dann wenn c Integralkurve von grad_{g} f ist.

Aufgabe 2 Parallel-Transport einer positiv orientierten Basis M ist eine Mannigfaltigeit, und ∇ ein Zusammenhang auf M. [{e_{1}(0), e_{2}(0), …, e_{n}(0)}] sei eine positiv orientierte Basis für T_{p}M, γ : I = [0, 1] → M eine C^{∞} Kurve. Für all i ∈ ℕ, sei e_{i} : I → M der Parallel-Transport von e_{i}(0) längs γ. Man Zeige: {e_{1}(t), …, e_{n}(t)} ist eine Basis, und [{e_{1}(t), e_{2}(t), …, e_{n}(t)}] ist positiv orientiert für alle t ∈ I. Aufgabe 3 Aussagen über Geodätische Man Beweise:

(1) zu v ∈ T_{p}M gibt es eine eindeutig bestimmte, rechtseitig maximale Geodätische γ_{v} : [0, ρ_{v}) → M mit

γ′_{v}(0) = v wobei ρ_{v} ∈ (0, ∞]

(2) Für λ > 0 gilt: ρ_{λv} = \frac{1}{λ}ρ_{v} und γ_{λv} = γ_{v}(λs).

(3) Ist ρ_{v} < ∞, dann gilt: für alle K ⊂ M, K kompakt, existiert es ein 0 < s < ρ_{v}, so dass γ_{v}(t) ∉ K für alle t ∈ (s, ρ_{v}).

Aufgabe 4 Geodätische in U ⊂ ℝ^{n} und S^{n}

• Sei 0 ∈ U ⊂ ℝ^{n} eine offene Menge (Mannigfaltigkeit) mit der Standard-Metrik. Man Zeige: Für v ∈ T_{0}U, γ_{v} : [0, ρ_{v}) erfüllt γ_{v}(t) = tv für alle t ∈ [0, ρ_{v}). Falls ρ_{v} < ∞, gilt ρ_{v}v ∈ δU. Ist, im Fall ρ_{v} < ∞, dist(0, δU) = ρ_{v}v?

• Sei S^{n} ⊂ ℝ^{n+1} mit der Standard-Metrik versehen. Zeigen Sie: in S^{n} gilt für v ∈ T_{p}S^{n} p ∈ ℝ^{n+1}

γ_{v} : ℝ → S^{n}, γ_{v}(s) = cos(|v|s)p + sin(|v|s)\frac{v}{|v|}.

Also folgt:

exp_{p} : T_{p}S^{n} → S^{n}, exp_{p}(v) = cos(|v|)p + sin(|v|)\frac{v}{|v|}.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 23.05.2006 bis 9:15.