Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 6, Serie 5 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 29. Mai 2006

Aufgabe 1 (C^{∞} Lokal-Basis)

Sei (M, g) eine Riem. Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie: zu p ∈ M, existiert es ein Othonormal Basisfeld V = {v_{1}, …, v_{n}} auf M (man braucht lediglich die Definition einer Riemmanschen Mannigfaltigkeit um das Feld zu konstruieren ).

Aufgabe 2 Hopf-Rinow

Sei (M, g) eine Mannigfaltigkeit, und N ⊂ M eine Untermannigfaltigkeit mit der induzierte Riemmansche Metrik h = i^{∗}g versehen (i : N → M die Inklusion). Zeigen Sie: Ist (M, g) vollständig und N zusammenhängend, so ist (N, h) vollständig.

Aufgabe 3 Polarkoordinaten

Sei (M, g) eine Riem. Mannigfaltikeit und f : (0, s) × S_{p} → M

f(r, ω) = exp_{p}(rω),

wohldefiniert, wobei S_{p} = {v ∈ T_{p}M : ||v||_{g} = 1. Man Zeige:

f^{∗}g|_{(r_{0},ω_{0})} = dr^{2}|_{r_{0}} ⊕ r_{0}^{2}h|_{(r_{0},ω_{0})},

wobei dr^{2} die Standard Metrik auf ℝ ist, und h|_{(r_{0},ω_{0})} eine Riem. Metrik auf S_{p} ist, genaurere gilt für ψ, η ∈ T_{ω_{0}}S_{p}:

h|_{(r_{0},ω_{0})}(ψ, η) = g(D exp_{p}(r_{0}ω_{0})(ψ), D exp_{p}(r_{0}ω_{0})(η)).

Aufgabe 4 Kompakte Mengen in Riemmansche Mannigfaltigkeiten

Sei (M, g) zusammenhängend, B ⊂ M ein beschränktes, abgeschlossenes Gebiet, und p_{i} ∈ B. Ist es immer möglich ein ϵ > 0 zu finden, so dass für alle p_{i} ∈ M, es existiert ϕ : ^{g}B_{ϵ}(p_{i}) → ^{ℝ^{n}}B_{ϵ}(0) (bijektive Abbildung) Koordinaten ? Errinerung: gB_{r}(p) = {x ∈ M : ^{g}d(x, p) < r}, ^{ℝ^{n}}B_{r}(0) = {x ∈ ℝ^{n} : |x|_{ℝ^{n}} < r},

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 30.05.2006 bis 9:15.