Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 6, Serie 7 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 14. Juli 2006

Aufgabe 1 (Beweis von Hopf-Rinow ) Zeigen Sie die Implikation (3) impliziert (4) der Ausage des Theorems 2.25 (Hopf-Rinow) der Vorlesung:

(3) Jede abgeschlossene, beschränkte Menge in (M, g) ist kompakt.

(4) (M,^{g}d) ist ein vollstädinger metrischer Raum.

Aufgabe 2 (Injektivitäts Radius) Konstruieren Sie eine vollständige, zusammenhängende C^{∞} Riemannsche Mannigfaltigkeit(M, g) mit inj(M, g) = 0.

Aufgabe 3 (Lie-Klammern eines Horizontale Lifts) Sei π : (N, h) → (M, h) eine Riemannsche Submersion. Für X ∈ X (M) sei X̃ ∈ X (N) der horizontale Lift von X. Dann gilt: [X̃, Ỹ] − ˜ [X, Y] ist vertikal für alle X, Y ∈ X (M).

Aufgabe 4 (Irrationale Translationen)

Betrachten Sie die Operation

ℝ × ℝ^{2} → ℝ^{2}, t · (x, y) := (x + t, y + bt)

für ein fixiertes b ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass eine glatte und freie Operation auf dem Torus ℝ^{2}/ℤ^{2} induziert wird, dass aber im Fall b ∈ ℝ\ℚ der Quotientraum nicht Hausdorffsch ist.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 19.06.2006 bis 9:15.