Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 6, Serie 8 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 14. Juli 2006

Aufgabe 1(O(n) ist eine Liegruppe ) Man Zeige: O(n) := \{A ∈ ℝ^{nxn} : ^{t}AA = 1\} ist eine Liegruppe der Dimension \frac{n(n−1)}{2}.

Hinweis: Siehe Vorlesung.

Aufgabe 2 (ℂP^{n} als Quotient Mannigfaltigkeit ) Geben Sie der Homöomorphismus (mit Nachweis) an: S^{2n+1}/S^{1} ≡ ℂP^{n}, wobei

S^{2n+1} = {(z_{1}, …, z_{n}) ∈ ℂ^{n} : |z_{1}|^{2} + … + |z_{n}^{2}| = 1},

und die Operation ist exp^{it} ·(z_{1}, …, z_{n}) := (exp^{it} z_{1}, …, exp^{it} z_{n}). Zeigen Sie, dass die Operation frei und eigentlich ist.

Aufgabe 3 (S^{n−1} als Quotient Mannigfaltigkeit ) Geben Sie der Homöomorphismus (mit Nachweis) an: SO_{n}/SO_{n−1} ≡ S^{n−1}, wobei SO_{n−1} als die Isotropiegruppe von e_{n} aufgefasst wird, das heißt SO(n − 1) = {A ∈ SO_{n} : A(e_{n}) = e_{n}}, und die Operation ist standard Matrixmultiplikation (SO(n) := {A ∈ O(n) : det(A) = 1} ). Zeigen Sie, dass die Operation frei und eigentlich ist.

Aufgabe 4 (Geodätische und Untermannigfaltigkeiten) Sei M ⊂ (N, g) eine zusammenhängende Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie:

(a) Ist γ : [a, b] → M Geodätische in N, so auch in M.

(b) Nehmen Sie an, es gebe eine Isometrie f : (N, g) → (N, g) mit M = {p ∈ N : f(p) = p}. Folgern Sie, dass M total geodätisch ist: jede Geodätische in M ist sogar Geodätische in N.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 26.06.2006 bis 9:15.