Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 6, Serie 9 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 14. Juli 2006

Aufgabe 1(Zweite Fundamentalform einer Kurve ) Sei γ : (a, b) → ℝ^{2} eine C^{∞} Kurve mit γ′(t) ≠ 0 für alle t ∈ (a, b) (also, γ ist eine Immersion). Für x ∈ (a, b) sei ν(x) := \frac{(−γ^{2}′(x),γ^{1}′(x))}{|γ′|_{ℝ^{2}}} eine Wahl von Normale. Berechnen Sie A_{0}(x)(γ′(x), γ′(x)) der Skalarteil der zweite Fundamentalform: A_{0}(x)(X, Y) = ⟨A(x)(X, Y), ν(x)⟩.

Aufgabe 2 (Zweite Fundamental Form eines Graphes ) Sei u : ℝ^{n} → ℝ eine glatte Funktion, mit u(0) = 0, und Du(0) = 0. F Sei der Graph von u, F : ℝ^{n} → ℝ^{n+1}, F (x) := (x, u(x)). Man Zeige:

A(0)(e_{i}(0), e_{j}(0)) = \frac{∂^{2}u}{∂x^{i}∂x^{j}} e_{n+1}(0),

wobei {e_{i}} die Standardbasis von ℝ^{n+1} ist.

Aufgabe 3 (Zweite Fundamentalform von ℝ^{n} ⊂ ℝ^{n+1} ) Berechnen Sie A(x)(e_{i}(x), e_{j}(x)), für die Inklusion i : ℝ^{n} → ℝ^{n+1}, wobei {e_{i}(x)}_{i=1}^{n} die Standardbasis von T_{x}ℝ^{n} ist.

Aufgabe 4 (Zweite Fundamentalform von S^{n} ⊂ ℝ^{n} ) Berechnen Sie A(N)(e_{i}(N), e_{j}(N)), für die Inklusion i : S^{n} → ℝ^{n}, wobei {e_{i}(N)}_{i=1}^{n} eine von Ihnen gewählten Orthonormalbasis für S^{n} in dem Nordpole N ist.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 04.07.2006 bis 9:15.