Übungsaufgaben zur Elementaren Differentialgeometrie SS 03, Serie 10 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 14. Juli 2003

Aufgabe 1 Eine Familie von Ebenen Seien α : I → ℝ^{3}, N : I → ℝ^{3} C^{2} reguläre Kurven, mit |N| = 1 und ⟨α′, N⟩ ≠ 0, für alle t ∈ I. Das Paar {α, N} heisst dann eine Familie von Tangentialebenen.

1. Zeigen Sie: F (s, t) = α(s) + t\frac{N∧N′}{|N|} ist eine abwickelbare Regelfläche.

2. Falls α′ ∧ (N ∧ N′)(s) ≠ 0 für alle s ∈ I, zeigen Sie dann, dass F regulär in einer Umgebung von t = 0 ist und dass N(s) der Einheitsnormalenvektor von F in (s, 0) ist.

3. Sei α nach der Bogenlänge parametrisiert. Nehmen Sie an, dass k und ω (Krümmung bzw. Torsion von α ) nirgendwo verschwinden. Beweisen Sie dass {α, β} eine Familie von Tangentialebenen ist (wie oben definiert) und dass F̃(s, t) = α(s) + t\frac{β∧β′}{|β|} gleich der Tangentenfläche F zu α ist, F (s, t) = α(s) + tα′(s) ( {τ, ν, β} ist das Frene’t Dreibein).

Aufgabe 2 Ennepersche Fläche Sei X : ℝ^{2} → ℝ^{3}, X(u, v) = (u − \frac{u^{3}}{3} + uv^{2}, v − \frac{v^{3}}{3} + vu^{2}, u^{2} − v^{2}), die Ennepersche Fläche

1. Berechnen Sie die erste und zweite Fundamentalform.

2. Zeigen Sie dass die Mittlere Krümmung H ≡ 0 ist.

3. Sei F : (0, ∞) × ℝ → ℝ^{3} durch F (ρ, θ) = X(ρ cos θ, ρ sin θ) gegeben. Zeigen Sie: F (ρ_{1}, θ_{1}) = F (ρ_{2}, θ_{2}) impliziert, dass ρ_{1} = ρ_{2} und cos(2θ_{1}) = cos(2θ_{2}) und

ρ sin θ + \frac{ρ^{3}}{3} sin(3θ) = 0  (∗).

Umgekehrt, Zeigen Sie: Falls (ρ, θ) (*) erfüllt, dann gilt F (ρ, θ) = F (ρ, 2π − θ) (also der Schnitt der Fläche mit der Ebene y = 0 ist eine Kurve, längs welcher sich die Fläche selbst durch schneidet).

Aufgabe 3Parallelflächen Sei F : U → ℝ^{3} eine C^{2} reguläre Fläche, und a ≠ 0 eine Konstante. Sei F̃ : U → ℝ^{3} durch F̃(x, y) = F (x, y) + aν(x, y) gegeben. Beweisen Sie:

1.

\frac{∂}{∂x}F̃ ∧ \frac{∂}{∂y} F̃ = (1 − 2aH(x, y) + a^{2}K(x, y))(\frac{∂}{∂x}F ∧ \frac{∂}{∂y} F),

wobei K, H die Gau/ss- und Mittlere Krümmung von F sind.

2. Für reguläre Punkte gilt:

K̃ = \frac{K}{(1 − 2aH + a^{2}K)},

und

H̃ = \frac{H − aK}{(1 − 2aH + a^{2}K)},

wobei H̃, K̃ die Mittlere und Gau/ss- Krümmung von F̃ sind.

Aufgabe 4 Gau/ss-Abbildung wieder Sei F : U → ℝ^{3} eine C^{2} reguläre Fläche ohne Nabelpunkte (siehe Aufgabe 4, serie 9).

1. Beweisen Sie: F ist genau dann eine Minimalfläche (H ≡ 0), wenn die Gau/ss-Abbildung N : U → S^{2} die Gleichung

⟨DN(x)(w_{1}), DN(x)(w_{2})⟩ = λ(x)g(x)(w_{1}, w_{2})

für alle w_{1}, w_{2} ∈ ℝ^{2} erfüllt, wobei λ : U → ℝ eine Funktion ist die nirgendwo verschwindet.

2. Sei f : ℝ^{2} → S^{2} die Inverse der Stereographischen Projektion. Betrachte eine Umgebeung V eines Punktes x der Minimalfläche aus Teil 1 der Aufgabe, so dass N : V → S^{2} ein Diffeomorphismus ist (weil K(x) = det(DN) ≠ 0 ist, gibt es nach dem Umkehrsatz so ein solches V). Zeigen Sie, dass die Parametrisierung Y : M → ℝ^{3}, Y = F ∘ N^{−1} ∘ f, winkeltreu ist, wobei M = f^{−1}(N(V)).

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 16.07.2003 bis 9:15.