Übungsaufgaben zur Elementaren Differentialgeometrie SS 03, Serie 11 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 17. Juli 2003

Aufgabe 1 Assoziierte Familie von Minimalflächen. Für ϕ ∈ [0, π/2] sei X_{ϕ}: ℝ^{2} → ℝ^{3} gegeben durch

X_{ϕ}(u, v) := ( \begin{matrix}sin ϕ cosh u cos v & + cos ϕ sinh u sin v \\ sin ϕ cosh u sin v & − cos ϕ sinh u cos v \\ sin ϕ u & + cos ϕ v \end{matrix} )

Zeigen Sie:

1. X_{0} ist eine Wendelfläche und X_{π/2} ein Katenoid (vgl. Serie7, Aufgabe 1 und Serie 8 Aufgabe 1+2 ).

2. Die erste Fundamentalform von X_{ϕ} stimmt für alle ϕ überein.

3. Alle X_{ϕ} sind Minimalflächen.

Aufgabe 2 Hauptsatz der Flächentheorie Sei X: U ⊂ ℝ^{2} → ℝ^{3} eine Minimalfläche mit g_{11} = g_{22}, g_{12} = 0. Für ϕ ∈ ℝ sei

( \begin{matrix}h_{11}^{ϕ} & h_{12}^{ϕ} \\ h_{21}^{ϕ} & h_{22}^{ϕ} \end{matrix} ) := ( \begin{matrix}cos ϕ & sin ϕ \\ − sin ϕ & cos ϕ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{matrix} )

wobei die h_{ij} die Komponenten der zweiten Fundamentalform von X sind, und g_{ij}^{ϕ} := g_{ij} für j = 1, 2. Zeigen Sie:

1. h_{12}^{ϕ} = h_{21}^{ϕ} (d. h. (h_{ij}) ist symmetrisch), und die g_{ij}^{ϕ}, h_{ij}^{ϕ} erfüllen die Gleichungen von Gauß und Codazzi-Mainardi.

(Ist U ⊂ ℝ^{2} einfach-zusammenhängend, so existiert nach der Vorlesung eine Minimalfläche X^{ϕ}: U → ℝ^{3} mit erster Fundamentalform g_{ij}^{ϕ} und zweiter Fundamentalform h_{ij}^{ϕ}.)

2. Die erste und zweite Fundamentalform der Flächen X_{ϕ} aus Aufgabe 1 haben die oben angegebene Gestalt.

(Damit sind diese X_{ϕ} ein konkretes Beispiel für diese Konstruktion.)

Aufgabe 3Gauß-Krümmung einer winkeltreuen Fläche Die erste Fundamentalform g einer C^{3} reguläre Fläche F : U ⊂ ℝ^{2} → ℝ^{3} habe die

Gestalt g(q) = e^{2f(q)} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) für eine Funktion f: U → ℝ.

1. Zeigen Sie, dass K = −e^{−2f}(f_{11} + f_{22}).

2. Zeigen Sie, dass falls g winkeltreu ist, dann man kann die erste Fundamentalform immer so schreiben.

Aufgabe 4 Parametertransformation Sei F : U → ℝ^{3} eine parametrisierte Fläche, g die erste Fundamentalform, und ∇ die zugehörige kovariante Ableitung. Sei ϕ : V → U ein Diffeomorphismus, F̃ : V → ℝ^{3} die Fläche die durch F̃ = F ∘ ϕ gegeben ist, g̃ die erste Fundamentalform, und ˜∇ die zugehörige kovariante Ableitung. Sei ψ : U → V die Inverse von ϕ. Zeigen Sie:

1. Für alle Vektorfelder X, Y : V → ℝ^{2} auf V gilt

˜∇_{X}Y (p) = Dψ(∇_{Dϕ(X)}Dϕ(Y))(p),

wobei für ein C^{0} Vektorfeld X : V → ℝ^{2} auf V, und ϕ : V → U ein glatter Diffeomorphismus, das Vektorfeld Dϕ(X) : U → ℝ^{2} ist durch Dϕ(X)(ϕ(p)) = ∑_{i=1}^{2} \frac{∂ϕ}{∂x^{i}} (p)X^{i}(p) definiert.

2. Seien Γ̃_{αβ}^{γ} (α, β, γ ∈ {1, 2}) die Christoffelsymbole der ersten Fundamentalform g̃. Zeigen Sie:

Γ̃_{αβ}^{γ}(ϕ(p)) = ∑_{i,j,k=1}^{2} Γ_{ij}^{k}(p)\frac{∂ϕ^{i}}{∂x^{α}} (p)\frac{∂ϕ^{j}}{∂x^{β}} (p)\frac{∂ψ^{γ}}{∂x^{k}} (ϕ(p)) + ∑_{i=1}^{2} \frac{∂^{2}ϕ^{i}}{∂x^{α}∂x^{β}} \frac{∂ψ^{γ}}{∂x^{i}} (ϕ(p)).

Aufgabe 5 Rotationsflac̈hen: Christoffelsymbole Sei α: I → ℝ^{3} mit α(t) = (x(t), 0, z(t)) eine C^{2} Kurve, die ganz in der x-z-Ebene verläuft, und sei α regulär. Sei F die durch F (t, θ) = (x(t) cos θ, x(t) sin θ, z(t)) gegebene Rotationsfläche. Berechenen Sie die Christoffelsymbole für F.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 23.07.2003 bis 9:15. Die Punkte die Sie hier bekommen sind Bonus Punkten.