Übungsaufgaben zur Elementaren Differentialgeometrie SS 03, Serie 3 Prof. Dr. E. Kuwert 19. Mai 2003

Aufgabe 1 (Hauptsatz für ebene Kurven) Sei k : (−1, 1) → ℝ , k(t) = \frac{1}{\sqrt{1−t^{2}}} . Bestimmen Sie eine C^{∞} Kurve (mit Nachweis) c : (−1, 1) → ℝ^{2} die nach der Bogenlänge parametrisziert ist, mit κ(t) = k(t), wobei κ die Krümmung der Kurve c ist.

Aufgabe 2 (Umlaufzahl) Sei c_{1} : [−1, 1] → ℝ^{2} die Parabel c_{1}(t) = (t, 1−t^{2}). Sei c_{2} : [1, 2] → ℝ^{2} die Gerade von (1, 0) bis (\frac{1}{2}, −1), c_{3} : [2, 3] → ℝ^{2} die Gerade von (\frac{1}{2}, −1) bis (−\frac{1}{2}, 0), c_{5} : [4, 5] → ℝ^{2} die Gerade von (\frac{1}{2}, 0) bis (−\frac{1}{2}, −1), c_{6} : [5, 6] → ℝ^{2} die Gerade von (−\frac{1}{2}, −1) bis (−1, 0) wobei die Parametrisierung so gewählt ist, dass c_{2}(1) = (1, 0),c_{2}(2) = (\frac{1}{2}, −1), usw., und so dass |c′_{2}|, |c′_{3}|, |c′_{5}|, |c′_{6}| alle konstant sind. Sei c_{4} : [3, 4] → ℝ^{2} eine C^{∞} reguläre parametrisierte Kurve, die auf dem Kreis von radius \frac{1}{2} und Mittelpunkt (0, 0) liegt, so dass c_{4}(3) = (−\frac{1}{2}, 0), c_{4}(4) = (\frac{1}{2}, 0), wobei die Paramterisierung so gewählt ist, dass |c′_{4}| konstant ist. Sei c : [−1, 6] → ℝ^{2} die parametrisierte Kurve mit c|_{[−1,1]} = c_{1}, c|_{[1,2]} = c_{2}, c|_{[2,3]} = c_{3}, c|_{[3,4]} = c_{4}, c|_{[4,5]} = c_{5}, c|_{[5,6]} = c_{6}.

(a) Geben Sie explizit die Parametrisierung von c an.

(b) Bestimmen Sie eine stetige Funktion θ : [−1, 6] → ℝ und eine stetige Funktion r : [−1, 6] → ℝ so dass c(t) = r(t)(cos θ(t), sin θ(t)).

Aufgabe 3 (Schmiegkreis II)

Sei c : ℝ → ℝ^{2}, c(t) = (t, \frac{k_{0}}{2} t^{2}), wobei k_{0} ≠ 0 eine Konstante ist. Seien t_{1} < 0 < t_{2} Punkte in ℝ.

(a) Zeigen Sie dass es einen eindeutigen Kreis L = L(t_{1}, t_{2}) ∈ ℝ^{2} gibt so dass c(t_{1}) ∈ L, c(t_{2}) ∈ L und (0, 0) ∈ L.

(b) Bestimmen Sie den Radius R = R(t_{1}, t_{2}) von dem Kreis L.

(c) Zeigen Sie: lim_{t_{1},t_{2}→0} R(t_{1}, t_{2}) = \frac{1}{k_{0}} .

Aufgabe 4 (Maxima)

Sei I ⊂ ℝ ein offenes Intervall, α : I → ℝ^{2} eine C^{2} reguläre Kurve, so dass |α(t)| and der Stelle t_{0} ∈ I ein lokales Maxiumum hat. Zeigen Sie: κ(t_{0}) ≥ |\frac{1}{α(t_{0})}|, wobei κ : I → ℝ die Krümmung von α ist.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 21.05.2003 bis 9:15.