Übungsaufgaben zur Elementaren Differentialgeometrie SS 03, Serie 4 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 21. Mai 2003

Aufgabe 1 (Umlaufsatz von Hopf) Sei c : [0, L] → ℝ einfach geschlossen und nach der Bogenlänge parametrisiert. Sei D = {(s, t) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ s ≤ t ≤ L}, und

w : D → S^{1} ⊂ ℝ^{2}, w(s, t) = \{ \begin{matrix}c′(s), & für t = s, \\ −c′(L), & für s = 0, t = L, \\ \frac{c(t)−c(s)}{|c(t)−c(s)|}, & sonst . \end{matrix}

(siehe Vorlesung, Umlaufsatz von Hopf). Zeigen Sie: die Funktion w ist stetig in dem Punkt (0, L) (in der Vorlesung wurde gezeigt dass die Funktion w ist stetig auf D/{(0, L)}.

Aufgabe 2 (Umlaufzahl) Sei L_{1} der Kreis in ℝ^{2} mit Radius 1 und Mittelpunkt (0, 0), und L_{2} der Kreis in ℝ^{2} mit Radius 2 und Mittelpunkt (3, 0). Sei c : [0, a] → L_{1} ⋃ L_{2} ⊂ ℝ^{2} eine reguläre C^{1} kurve mit c|_{[0,2π]} ⊂ L_{1}, und c|_{[2π,a]} ⊂ L_{2}, und c(0) = c(2π) = c(a) = (1, 0). Ausserdem, sei c nach der Bogenlänge parametrisiert.

• [i] Geben Sie c explicit an ( unter anderm, müssen Sie a bestimmen).

• [ii] Berechnen Sie n(c, 0), die Umlaufzahl von c um 0.

• [iii] Berechnen Sie den Rotationsindex ind(c) von c.

Aufgabe 3 (Konvex)

• [i] Sei c : I → ℝ^{2} eine C^{1} einfache geschlossene nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve mit Innengebiet U und Normale ν = J · c′ (siehe Jordan-Kurvensatz in der Vorlesung). Zeigen Sie: Entwieder:

∀t_{0} ∈ I, ∃ρ(t_{0}) > 0 so dass c(t_{0}) + rν(t_{0}) ∈ U∀r ∈ (0, ρ(t_{0})),

(dann ist ν die sog. Innere Normale) oder

∀t_{0} ∈ I, ∃ρ(t_{0}) > 0 so dass c(t_{0}) + rν(t_{0}) ∈ U∀r ∈ (−ρ(t_{0}), 0)

(dann ist ν die sog. Aussere Normale).

• [ii] Definition: Eine C^{1} reguläre ebene Kurve c : I → ℝ^{2} heisst konvex falls:

entweder

⟨c(t) − c(t_{0}), ν(t_{0})⟩ ≥ 0∀t, t_{0} ∈ I,

oder

⟨c(t) − c(t_{0}), ν(t_{0})⟩ ≤ 0∀t, t_{0} ∈ I,

wobei ν : I → ℝ^{2} die Normale von c ist. Zeigen Sie: c einfach geschlossen und konvex impliziert dass U Konvex ist (wobei U das Innengebiet von c ist). —bitte wenden— Aufgabe 4 (Maxima)

Sei α : [0, l] → ℝ^{2} C^{2} regulär, konvex (sie dürfen Aufgabe 5 benutzen) und einfach geschlossen. Sei β : [0, l] → ℝ^{2}, β(t) = α(t) − rν(t), wobei ν die Innere Normale von α ist. Sei U_{α} (bzw. U_{β}) dass Innengebiet von α (bzw. β), und k_{α} (bzw. k_{β}) die Krümmung von α (bzw. β). Zeigen Sie:

• [i] L(β) = L(α) + 2πr.

• [ii] A(U_{β}) = A(U_{α}) + rl + πr^{2}.

• [iii] k_{β} = \frac{k_{α}}{(1+r)}.

Aufgabe 5 (*) Konvex wieder

Sei c : I → ℝ^{2} eine C^{2} einfach geschlossene, nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve. Sei k : I → ℝ die Krümmung von c. Zeigen Sie: Die Kurve ist genau dann konvex, wenn k(t) ≥ 0 für alle t ∈ ℝ (Warnung: nicht so einfach!).

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 28.05.2003 bis 9:15.