Übungsaufgaben zur Elementaren Differentialgeometrie SS 03, Serie 5 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 3. Juni 2003

Aufgabe 1 (Isoperimetrische Ungleichung) Sei G ein beschränktes Gebiet mit C^{1}-Rand. Zeigen Sie: Falls 4πA = L^{2}, dann ist G eine Kreisscheibe (der Beweis wurde in der Vorlesung skizziert).

Aufgabe 2 (Schmiegen) Sei c : I → ℝ^{3} eine nach der Bogenlänge parametrisierte C^{2}-Kurve, t_{0} ∈ I. Sei κ(t_{0}) ≠ 0. Zeigen Sie:

• [i] Für hinreichend kleines h > 0 liegen c(t_{0}), c(t_{0} − h), c(t_{0} + h) nicht auf einer Geraden.

• [ii] Die Ebene E_{h}, die von c(t_{0}), c(t_{0} −h), c(t_{0} +h) erzeugt wird, konvergiert für h → 0 gegen die sog. Schmiegebene von c in t_{0}, d.h. die von c′(t_{0}) und c′′(t_{0}) aufgespannte Ebene.

Aufgabe 3 (Winkel ) Sei c : I → ℝ^{3} eine C^{3}-Kurve mit |c′| = 1 und κ ≠ 0. Zeigen sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind

• [i] Es existiert ein Vektor v ∈ ℝ^{3} mit |v| = 1 und ein Winkel α ∈ ℝ mit ⟨c′(t), v⟩ = cos α, für alle t ∈ I.

• [ii] Es existiert ein α ∈ ℝ mit \frac{ω(t)}{κ(t)} = cot α für alle t ∈ I, wobei ω bzw. κ die Torsion bzw. Krümmung der Kurve ist.

Aufgabe 4 (Matrizen wieder) Sei V ∈ C^{1}(I, ℝ^{n×n}). Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

• [i] V′ = V · A, det V (t_{0}) = 1 mit A ∈ C^{0}(I, ℝ^{n×n}), tr(A) = 0.

• [ii] det V (t) = 1∀t ∈ I.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 04.06.2003 bis 9:15.