Übungsaufgaben zur Elementaren Differentialgeometrie SS 03, Serie 6 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 23. Juni 2003

Aufgabe 1 (Schmiegebene II) Die Kurve α: ℝ → ℝ^{3} sei definiert durch

α(t) = \{ \begin{matrix}(t, e^{− \frac{1}{t^{2}}} , 0) & für t < 0 \\ (0, 0, 0) & für t = 0 \\ (t, 0, e^{− \frac{1}{t^{2}}} ) & für t > 0. \end{matrix}

1. Zeigen Sie, dass α eine reguläre C^{∞}-Kurve ist und κ: \{ℝ/\{±\sqrt{\frac{2}{3}}\}\} → ℝ_{≥0} eine C^{∞}-Funktion.

2. Zeigen Sie: Für t ∈ ℝ/\{0, ±\sqrt{\frac{2}{3}}\} gilt κ(t) ≠ 0, und κ(0) = 0.

3. Zeigen Sie: ν(t) ist nicht stetig in 0.

4. Zeigen Sie: Die Schmiegebene E_{t} in t ≠ 0 erfüllt: lim_{t↘0} E_{t} = {(x, y, z) : y = 0} und lim_{t↗0} E_{t} = {(x, y, z) : z = 0}

Aufgabe 2 (Röhrenflächen ) Sei α : (a, b) → ℝ^{3} eine reguläre, nach der Bogenlänge parametrisierte C^{3} Kurve. Sei (τ, e_{2}, e_{3}) ein C^{1} begleitendes Dreibein längs α. Die Röhrenfläche mit radius r > 0 um α wird parametrisiert durch X : (a, b) × ℝ → ℝ^{3}, X(s, θ) = α(s) + re_{2}(s) cos(θ) + re_{3}(s) sin(θ). Sei l_{s} : ℝ → ℝ^{3}, l_{θ} : ℝ → ℝ^{3} definiert durch l_{s}(θ) = α(s) + re_{2}(s) cos(θ) + re_{3}(s) sin(θ), und l_{θ}(s) = α(s) + re_{2}(s) cos(θ) + re_{3}(s) sin(θ).

1. Zeigen Sie dass

⟨\frac{d}{ds}l_{θ}(s), \frac{d}{dθ}l_{s}(θ)⟩ = 0,

falls \frac{d}{ds}e_{i}(s) = a_{i}(s)τ(s), für stetige Funktionen a_{i} : (a, b) → ℝ, i = 2, 3.

2. Kann man immer so ein C^{1} begleitendes Dreibein (τ, e_{2}, e_{3}) längs α finden mit \frac{d}{ds}e_{i}(s) = a_{i}(s)τ(s)?

Aufgabe 3 (Röhrenflächen II) Sei α, X wie in Aufgabe 2, und (τ, e_{2}, e_{3}) ein C^{1} begleitendes Dreibein (τ, e_{2}, e_{3}) längs α mit \frac{d}{ds}e_{i}(s) = a_{i}(s)τ(s). Zeigen Sie, dass X genau dann regulär ist, wenn κ(s) < \frac{1}{r} für alle s ∈ (a, b).

Aufgabe 4 (Bertrand Kurve)

Sei α : I → ℝ^{3} C^{3} und regulär (nicht zwingend nach der Bogenlänge parametrisiert). α heisst eine Bertrand-Kurve, falls eine C^{3} reguläre Kurve α̂ : I → ℝ^{3} existiert, so dass alle Normalenlinien gleich sind:

{α̂(t) + sν̂(t) : s ∈ ℝ} = {α(t) + sν(t) : s ∈ ℝ}, ∀t ∈ I.

α̂ : I → ℝ^{3} heisst eine Bertrand Mate, und es gilt α̂(t) = α(t) + r(t)ν(t). Zeigen Sie: 1. r(t) ist eine Konstante

2. α ist eine Bertrand Kurve genau dann wenn Aκ(t) + Bω(t) = 1∀t ∈ I, wobei A, B Konstanten sind.

3. Falls zwei oder mehr Bertrand Mates von α existieren, dann exisitieren un-

endlich viele. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 18.06.2003 bis 9:15.