Übungsaufgaben zur Elementaren Differentialgeometrie SS 03, Serie 7 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 18. Juni 2003

Aufgabe 1 Rotationsflac̈he: Katenoide Sei α: I → ℝ^{3} mit α(t) = (x(t), 0, z(t)) eine Kurve, die ganz in der x-z-Ebene verläuft. Die Menge F, die man erhält, indem man das Bild von α um die z-Achse rotieren lässt, nennt man eine Rotationsfläche.

1. Geben Sie eine Parametrisierung von F an. Wann ist diese Parametrisierung regulär?

2. Berechnen Sie in diesem Fall die Koeffizienten der ersten Fundamentalform.

3. Sei speziell α(t) = (a cosh \frac{t}{a}, 0, t), wobei a > 0 eine Konstante ist. Die Fläche, die durch Rotation von α um die z-Achse entsteht, heißt Katenoid.

Fertigen Sie eine Skizze an. Berechnen Sie die Koeffizienten der ersten Fundamentalform.

Aufgabe 2 Längentreu, Flächentreu Die Abbildung X̃: ℝ × (−1, 1) → ℝ^{3} mit X̃(u, v) = (cos u, sin u, v) beschreibt einen Zylinder, der die Sphäre S^{2} längs des Äquators berührt.

1. Zeigen Sie: X̃ ist längentreu.

2. Bezeichne X(u, v) den Schnittpunkt der Strecke von X̃(u, v) zum Punkt (0, 0, v) mit der S^{2}. Berechnen Sie X: ℝ × (−1, 1) → S^{2} ⊂ ℝ^{3}. Zeigen Sie, dass X flächentreu ist, und bestimmen Sie so den Flächeninhalt der Sphäre.

Aufgabe 3 Tangentenfläche Sei α : I → ℝ^{3} eine reguläre, C^{2} Frenet Kurve. Sei X : I × ℝ → ℝ^{3} die parametrisierte Fläche, die durch X(t, v) = α(t) + vα′(t), gegeben ist.

1. Unter welchen Bedingungen ist X an der Stelle (t, v) regulär?

2. Berechnen Sie in diesem Fall die Koeffizienten der ersten Fundamentalform.

3. Geben Sie X explizit an für α : I → ℝ^{3}, α(t) = (t, cos t, sin t).

Aufgabe 4 Vierecke Sei F : ℝ^{2} → ℝ^{3} eine C^{1} parametrisierte, reguläre Fläche. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Für jedes rechteck in R^{2} mit Kanten parallel zum x- und y-Achse, und Ecken (a, b, c, d) gilt

L(F (a), F (b)) = L(F (c), F (d)), und L(F (b), F (c)) = L(F (a), F (d)),

wobei L(F (a), F (b)) = Länge der Kurve γ_{ab} : [0, 1] → ℝ^{3} mit

γ_{ab}(s) = F ((1 − s)a + sb),

usw.

2. \frac{∂}{∂x^{2}} (g_{11}) = \frac{∂}{∂x^{1}} (g_{22}), wobei g_{ij} die erste Fundamental-form ist.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 25.06.2003 bis 9:15.