Übungsaufgaben zur Elementaren Differentialgeometrie SS 03, Serie 8 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 25. Juni 2003

Aufgabe 1+2 Rotationsflac̈hen Sei α: I → ℝ^{3}, α(t) = (x(t), 0, z(t)) mit x(t) > 0 für alle t ∈ I. Berechnen Sie für die durch Rotation um die z-Achse erzeugte Fläche F (siehe Serie 7, Aufgabe 1) die folgenden Grössen:

1. Einheitsnormale N

2. 2. Fundamentalform h

3. Weingartenabbildung S

4. Hauptkrümmungen κ_{1,2}

5. Hauptkrümmungsrichtungen v_{1,2} und zugehörige Vektoren DF · v_{1,2} ∈ ℝ^{3}

6. Mittlere Krümmung H und Gaußkrümmung K

Spezialisieren Sie auf das Katenoid, das heißt

α : ℝ → ℝ^{3}, α(t) = (a cosh \frac{t}{a}, 0, t) wobei a > 0.

Aufgabe 3 Niveaumengen Sei f: ℝ^{3} → ℝ eine C^{2}-Funktion und F: U → ℝ^{3} eine reguläre C^{2}-Fläche mit f(F (x)) = 0 und Df(F (x)) ≠ 0 für alle x ∈ U. Zeigen Sie für x ∈ U und v, w ∈ ℝ^{2}:

Df(F (x)) ⊥ Bild(DF (x)) und h(x)(v, w) = −\frac{D^{2}f(F (x))(DF (x)v, DF (x)w)}{|Df(F (x))|},

wobei h die zweite Fundamentalform von F bzgl. der Normalen N = \frac{Df}{|Df|} ∘ F ist.

Aufgabe 4 Kegel

1. Parametrisieren Sie eine offene Teilmenge des Kegels z = a\sqrt{x^{2} + y^{2}} mit a > 0 so, dass g_{11} = g_{22} ≡ 1 und g_{12} ≡ 0 ist, wobei g die erste Fundamentalform ist.

Hinweis: Man kann einen Kegel aus Papier basteln. Versuchen Sie, die ”Bastelanleitung“ in eine Formel umzusetzen.

2. Für die Parametrisierung in 1.: Berechnen Sie die zweite Fundamentalform, die Hauptkrümmungen, und die Hauptkrümmungsrichungen.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 02.07.2003 bis 9:15.