Übungsaufgaben zur Elementaren Differentialgeometrie SS 03, Serie 9 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 8. Juli 2003

Aufgabe 1 Rotationsflac̈hen konstanter Gausskrümmung Sei α: I → ℝ^{3} mit α(s) = (x(s), 0, z(s)) eine Kurve, die ganz in der x-z-Ebene verläuft. Sei F : I × ℝ → ℝ^{3} eine Rotationsfläche gegeben durch F (s, t) = (cos(t)x(s), sin(t)x(s), s). Bestimmen Sie für K_{0} ∈ {−1, 0, 1} jeweils alle solchen Rotationsflächen, für die K ≡ K_{0} ist (K ist die Gäusskrümmung ), und skizzieren Sie einige davon. Geben Sie dazu jeweils die Formel für x(s) und das maximale Intervall I an, auf dem α definiert werden kann. Hinweis: Am ende müssen Sie eine gewohnliche Differentialgleichung lösen.

Aufgabe 2 Rotationsflac̈hen konstanter Mittlere Krümmung Sei α: I → ℝ^{3} mit α(s) = (x(s), 0, z(s)) eine Kurve, die ganz in der x-z-Ebene verläuft. Sei F : I × ℝ → ℝ^{3} eine Rotationsfläche gegeben durch F (s, t) = (cos(t)x(s), sin(t)x(s), s). Bestimmen Sie alle solchen Rotationsflächen mit H ≡ 0. Hinweis: Am ende müssen Sie eine gewohnliche Differentialgleichung lösen.

Aufgabe 3 Erster Variation Sei F : Ω → ℝ^{3} eine C^{2} reguläre Fläche. Sei h : Ω̄ → ℝ eine C^{2} Funktion. Die Normal Variation von F bez. h ist die Funktion ϕ : Ω × [−ϵ, ϵ] → ℝ^{3} die durch

ϕ(u, v, t) = F (u, v) + th(u, v)ν(u, v),

definiert ist.

• Zeigen Sie: Für |t| klein genug, F^{t} : Ω → ℝ^{3} , F^{t}(u, v) = F (u, v) + th(u, v)ν(u, v), ist eine C^{1} reguläre Fläche.

• Sei A(t) die Flächeninhalt von F^{t}. Zeigen Sie: \frac{dA}{dt}(0) = 0 genau dann wenn H ≡ 0 on F.

Aufgabe 4 Nabelpunkten Sei Ω ein offenes, zusammenhängendes Gebiet, und sei F : Ω → ℝ^{3} eine C^{2} reguläre Fläche. Definition: x ∈ Ω ist ein Nabelpunkt von F falls κ_{1}(x) = κ_{2}(x) wobei κ_{1}, κ_{2} die Hauptkrümmungen sind. Definition: Eine Fläche heisst planar (bzw. sphärish), falls ν(x) ≡ Konstante (bzw. falls ein p ∈ ℝ^{3} existiert mit |F (x) − p| ≡ Konstante). Zeigen Sie: F besteht aus lauter Nabelpunkten genau dann, wenn F planar oder sphärisch ist.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 09.07.2003 bis 9:15.