Übungsaufgaben zur Funktionalanalysis WS 04/05, Serie 1 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 21. Oktober 2004

Aufgabe 1 (Fortsetzungsprinzip) Seien X, Y metrische Räume, Y vollständig, und A ⊂ X eine dichte Teilmenge. Zeigen Sie: ist f : A → Y gleichmäßig stetig, so gibt es genau eine gleichmäßige stetige Abbildung f̃: X → Y mit f̃|_{A} = f. Belegen Sie mit einem Beispiel, dass die Voraussetzung der Gleichmäßigkeit benötigt wird.

Aufgabe 2 (L^{2}-Norm auf C^{0}([0, 1])) Sei I = [−1, 1]. Zeigen Sie, dass auf C^{0}(I) durch

∥u∥_{L^{2}} = (∫_{−1}^{1} u(x)^{2} dx)^{\frac{1}{2}}

eine Norm gegeben ist, dass aber (C^{0}(I), ∥ · ∥_{L^{2}}) kein Banachraum ist.

Aufgabe 3 (Norm von Fredholmoperatoren) Für I = [0, 1] sei K : (C^{0}(I), ∥ · ∥_{C^{0}(I)}) → (C^{0}(I), ∥ · ∥_{C^{0}(I)}) gegeben durch

(Kf)(x) = ∫_{0}^{1} k(x, y)f(y) dy, wobei k ∈ C^{0}(I × I).

Berechnen Sie die Operatornorm von K.

Aufgabe 4 (Hausdorffmetrik) Zeigen Sie, dass auf der Menge A der nichtleeren, abgeschlossenen und beschränkten Teilmengen des ℝ^{n} eine Metrik gegeben ist durch

d(A_{1}, A_{2}) = inf {ϱ > 0 : A_{1} ⊂ B_{ϱ}(A_{2}), A_{2} ⊂ B_{ϱ}(A_{1})}.

Dabei ist B_{ϱ}(A) = {x ∈ ℝ^{n} : dist(x, A) < ϱ}.

Abgabe am Mittwoch, 27. Oktober, in der Vorlesung