Übungsaufgaben zur Funktionalanalysis WS 04/05, Serie 10 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 22. Dezember 2004

Aufgabe 1 (L^{p}(μ) ist separabel für 1 ≤ p < ∞) Sei μ ein Radonmaß auf einem lokal-kompakten, separablen metrischen Raum (X, d). Beweisen Sie, dass L^{p}(μ) im Fall 1 ≤ p < ∞ separabel ist, dass also eine abzählbare dichte Teilmenge existiert.

Aufgabe 2 (L^{∞}(μ) ist nicht separabel) Sei μ endliches Maß auf X. Zeigen Sie:

L^{∞}(μ) separabel ⇔ dim L^{∞}(μ) < ∞.

Hinweis. Nehmen Sie an, es gibt eine disjunkte Zerlegung X = ⋃_{i=1}^{∞} E_{i} in messbare Mengen mit μ(E_{i}) > 0. Zeigen Sie, dass dann L^{∞}(μ) nicht separabel ist.

Aufgabe 3 (Das Hausdorff-Maß ist Borelregulär ) Sei 0 ≤ s < ∞ und α(s) = π^{s/2}/Γ(s/2 + 1), also α(s) = L^{s}({x ∈ ℝ^{s} : |x| < 1} im Fall s ∈ ℕ. Das s-dimensionale Hausdorff-Maß von A ⊂ ℝ^{n} ist definiert durch

H^{s}(A) := sup_{δ>0} H_{δ}^{s},

wobei für 0 < δ ≤ ∞ gesetzt ist:

H_{δ}^{s}(A) := inf \{ ∑_{j=1}^{∞} α(s)( \frac{diam C_{j}}{2} )^{s} : A ⊂ ∪_{j=1}^{∞}C_{j}, diam (C_{j}) ≤ δ\}.

Beweisen Sie, dass H^{s} ein Borelreguläres äußeres Maß ist.

Aufgabe 4 (Variations-Zugang zur L^{p}-L^{q}-Dualität) Sei S^{p} = \{f ∈ L^{p}(μ) : ∥f∥_{L^{p}} = 1\}. Betrachte für 1 < p, q < ∞ mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

D^{p} : S^{p} → S^{q}, D^{p}(f) = |f|^{p−2}f.

Sei φ ∈ L^{q}(μ)′ mit ∥φ∥ = 1. Zeigen Sie für f_{0} ∈ L^{p}(μ) die Äquivalenz folgender Aussagen:

(a) Λ(f_{0}) = φ, wobei Λ : L^{p}(μ) → L^{q}(μ)′, Λ(f)(g) = ∫ fg dμ.

(b) ∥f_{0}∥_{L^{p}} = 1 und φ(g_{0}) = sup_{g∈S^{q}} φ(g) mit g_{0} = D^{p}(f_{0}).

Hinweis: Um b) ⇒ a) zu zeigen, berechnen Sie für beliebiges g ∈ L^{q}(μ) die Ableitung bei t = 0 (wenn existent) der Fun ktion

t ↦ φ (\frac{g_{0} + tg}{∥g_{0} + tg∥_{L^{q}}} ) .

Bemerkung: Die L^{p}-L^{q}-Dualität folgt, wenn das Supremum angenommen wird. Dies beruht auf der gleichmäßigen Konvexität der L^{q}-Einheitskugel, welche mit Methoden aus Analysis 1 gezeigt werden kann, allerdings ist der Beweis nicht einfach.

Frohe Weinachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr! Abgabe am Mittwoch, 12. Januar 2005, in der Vorlesung.