Übungsaufgaben zur Funktionalanalysis WS 04/05, Serie 11 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 12. Januar 2005

Aufgabe 1 (Zum Beweis des Darstellungssatzes von Riesz) Sei X ein lokalkompakter, separabler metrischer Raum. Betrachten Sie

Λ : C_{c}^{0}(X, ℝ^{k}) → ℝ, Λ(f) = ∫_{X}⟨f, ν⟩ dμ,

wobei μ = |Λ| und ν ∈ L^{∞}(μ; ℝ^{k}). Folgern Sie, dass |ν(x)| = 1 für μ-fast-alle x ∈ X.

Aufgabe 3 (BV-Funktionen) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen. Betrachten Sie für f ∈ L^{1}(Ω) das Funktional

ϕ_{f} : C_{c}^{1}(Ω, ℝ^{n}) → ℝ, ϕ_{f}(g) = − ∫_{Ω} fdiv(g) dL^{n}.

Die Funktion f heißt von beschränkter Variation auf Ω, kurz f ∈ BV (Ω), falls gilt:

sup{ϕ_{f}(g) : |g| ≤ 1 auf Ω} < ∞.

Zeigen Sie: es gibt ein Radonmaß μ_{f} auf Ω und eine μ_{f}-messbare Funktion ν_{f} : Ω → ℝ^{n} mit |ν_{f}| = 1 für μ_{f}-fast-alle x ∈ Ω, so dass gilt:

ϕ_{f}(g) = ∫_{Ω}⟨g, ν_{f}⟩ dμ_{f} für alle g ∈ C_{c}^{0}(Ω, ℝ^{n}).

Bestätigen Sie μ_{f} = L^{n}⌞|Df| und ν_{f} = \frac{Df}{|Df|} für f ∈ C^{1}(Ω).

Aufgabe 3 (Nichtnegative Funktionale und Radonmaße) Sei Λ : C_{c}^{∞}(ℝ^{n}) → ℝ linear und nichtnegativ, d.h

λ(f) ≥ 0 für f ∈ C_{c}(ℝ^{n}, ℝ_{0}^{+}).

Dann ist Λ lineares Funktional auf C_{c}^{0}(Ω), und es gibt ein Radonmaß μ mit

Λ(f) = ∫_{ℝ^{n}} f dμ, für alle f ∈ C_{c}^{0}(ℝ^{n}).

Aufgabe 4 (Schwache Konvergenz ) Untersuchen Sie die Folge f_{n} : (−π, π) → ℝ, f_{n}(x) = sin(nx), auf schwache und schwach∗-Konvergenz in allen Räumen L^{p}((−π, π)), 1 ≤ p ≤ ∞.

Abgabe am Mittwoch, 19. Januar, in der Vorlesung.