Übungsaufgaben zur Funktionalanalysis WS 04/05, Serie 21 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 21. Januar 2005

Aufgabe 1 (Zur schwachen Konvergenz) Seien X, Y Banachräume, (x_{k})_{k∈ℕ} ⊂ X, (ϕ_{k})_{k∈ℕ} ⊂ X′. Zeigen Sie:

(i) x_{k} → x ⇒ x_{k} ⇀ x, und ϕ_{k} → ϕ ⇒ ϕ_{k} ⇀^{∗} ϕ.

(ii) x_{k} → x und ϕ_{k} ⇀^{∗} ϕ ⇒ ϕ_{k}(x_{k}) → ϕ(x).

(iii) x_{k} ⇀ x und ϕ_{k} → ϕ ⇒ ϕ_{k}(x_{k}) → ϕ(x).

(iv) x_{k} ⇀ x ⇒ T x_{k} → T_{x} für alle T ∈ L(X, Y).

Aufgabe 2 (Schwache Konvergenz und nichtlineare Terme I) Seien f, g : ℝ → ℝ definiert durch

f = ∑_{k=−∞}^{∞} χ_{[k,k+ \frac{1}{2} ]}, g = ∑_{k=−∞}^{∞} χ_{[k− \frac{1}{2} ,k]}.

Zeigen Sie, dass die Folgen f_{n}, g_{n} : I = (0, 1) → ℝ, mit f_{n}(x) = f(nx) bzw. g_{n}(x) = g(nx), sowie h_{n} = f_{n}g_{n} schwach∗ in L^{∞}(I) gegen Funktionen f, g, h konvergieren, dass aber h ≠ fg gilt.

Aufgabe 3 (Schwache Konvergenz und nichtlineare Terme II) Betrachten Sie für ϵ > 0 die Funktionen

f_{ϵ} : ℝ → ℝ, f_{ϵ}(x) = \sqrt{\frac{ϵ}{x^{2} + ϵ^{2}}} .

Bestätigen Sie ∥f_{ϵ}∥_{L^{2}(ℝ)} = \sqrt{π}, und untersuchen Sie f_{ϵ} sowie f_{ϵ}^{2} für ε ↘ 0 auf schwache Konvergenz.

Aufgabe 4 (Lemma von Mazur ) Sei x_{i} → x schwach in X. Dann gibt es Konvexkombinationen

x̃_{i} = ∑_{j=1}^{N_{i}} α_{i,j}x_{j}, wobei α_{i,j} ≥ 0, ∑_{j=1}^{N_{i}} α_{i,j} = 1,

so dass x̃_{i} → x bzgl. der Norm in X.

Abgabe am Mittwoch, 26. Januar, in der Vorlesung.