Übungsaufgaben zur Funktionalanalysis WS 04/05, Serie 13 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 25. Januar 2005

Aufgabe 1 (W_{0}^{1,p}(Ω) ⊂^{≠} W^{1,p}(Ω)) Sei Ω ein offenes Gebiet im ℝ^{n}. Zeigen Sie, dass C_{c}^{∞}(Ω) nicht dicht ist in W^{1,p}(Ω).

Aufgabe 2 (Schwache Ableitung von u^{±} und |u|) Sei Ω ein offenes Gebiet im ℝ^{n}, und u ∈ W_{loc}^{1,1}(Ω). Zeigen Sie, dass die Funktionen u^{+} = max(u, 0), u^{−} = − min(u, 0) und |u| ebenfalls in W_{loc}^{1,1}(Ω) sind, und geben Sie die schwachen Ableitungen an.

Aufgabe 3 (Niveaumengen von Sobolevfunktionen) Sei Ω ein offenes Gebiet in ℝ^{n}, und u ∈ W_{loc}^{1,1}(Ω). Zeigen Sie dass für c ∈ ℝ gilt:

Du(x) = 0 für fast alle x ∈ N_{c} = {x ∈ Ω : u(x) = c}.

Aufgabe 4 (Transformation schwacher Ableitungen) Seien Ω, Ω̃ offene Gebiete in ℝ^{n}, u ∈ W_{loc}^{1,1}(Ω) und ϕ ∈ C^{1}(Ω̃, Ω) ein Diffeomorphismus. Zeigen Sie u ∘ ϕ ∈ W_{loc}^{1,1}(Ω̃), genauer D(u ∘ ϕ) = ((Du) ∘ ϕ)Dϕ.

Abgabe am Mittwoch, 2. Februar, in der Vorlesung.