Übungsaufgaben zur Funktionalanalysis WS 04/05, Serie 13 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 1. Februar 2005

Aufgabe 1 (W^{1,∞}-Funktionen und Lipschitzstetigkeit) Zeigen Sie W^{1,∞}(ℝ^{n}) = C^{0,1}(ℝ^{n}).

Aufgabe 2 (Randwerte von Sobolevfunktionen) Sei C^{n} = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{∞} < 1}, und C_{−}^{n} = {x ∈ C^{n} : x_{n} < 0}. Konstruieren Sie für 1 ≤ p ≤ ∞ eine stetige, lineare Abbildung τ : W^{1,p}(C_{−}^{n}) → L^{p}(C^{n−1}), so dass gilt:

τ(u) = u|_{C^{n−1}} für alle u ∈ W^{1,p}(C) ∩ C^{0}(C_{−}^{n} ∪ C^{n−1}).

Anleitung: Zeigen Sie, dass die Funktionen u_{z} : C^{n−1} → ℝ, u_{z}(y) := u(y, z), für z ↗ 0 eine Cauchyfolge in L^{p}(C^{n−1}) bilden.

Aufgabe 3 (Gagliardo-Nirenberg Interpolationsabschätzung) Sei f ∈ L^{p} ∩ W^{1,q}(ℝ^{n}) für q < n. Dann ist f ∈ L^{r}(ℝ^{n}) für alle r ∈ [p, q^{∗}], wobei \frac{1}{q^{∗}} = \frac{1}{q} − \frac{1}{n}, und mit einer Konstanten C = C(n, p, q, r) < ∞ gilt die Interpolationsungleichung

∥f∥_{L^{r}} ≤ C ∥f∥_{L^{p}}^{1−α}∥Df∥_{L^{q}}^{α}, wobei α = \frac{\frac{1}{p} − \frac{1}{r}}{\frac{1}{p} − \frac{1}{q^{∗}}} .

Aufgabe 4 (Poincaré-Ungleichung) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränktes Gebiet mit Lipschitz-Rand. Beweisen Sie durch Widerspruch: es gibt eine Konstante C = C(p, Ω) < ∞ mit

∥u∥_{L^{p}(Ω)} ≤ C ∥Du∥_{L^{p}(Ω)} für alle u ∈ W^{1,p}(Ω) mit ∫_{Ω} u(x) dx = 0.

Abgabe am Mittwoch, 9. Februar, in der Vorlesung.