Übungsaufgaben zur Funktionalanalysis WS 04/05, Serie 2 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 1. November 2004

Aufgabe 1 (Präkompakte Mengen in C^{0}([0, 1])) Untersuchen Sie, ob die Menge F = {f_{k} : k ∈ ℕ} in (C^{0}([0, 1]), ∥ · ∥_{C^{0}}) präkompakt ist:

(1) f_{k}(x) = sin(x + k).

(2) f_{k}(x) = sin(kx).

Aufgabe 2 (Hölderstetigkeit der Potenzfunktion) Für welche β ∈ [0, 1] ist die Funktion u : [0, 1] → ℝ, u(x) = x^{α} in C^{0,β}([0, 1])?

Aufgabe 3 (Peanokurven) Die Cantormenge ist definiert als die Menge aller Zahlen, die eine triadische Entwicklung ohne die Ziffer 1 erlauben:

C = {t ∈ [0, 1] : t = ∑_{j=1}^{∞} τ_{j}3^{−j} mit τ_{j} ∈ {0, 2} für alle j ∈ ℕ.}

Sei Δ ein 30 − 60 − 90^{∘}-Dreieck. Durch sukzessives Einziehen von Höhen wird dieses zunächst in zwei ähnliche Dreeicke Δ_{0} und Δ_{2}, dann weiter in vier ähnliche Dreeicke Δ_{00}, Δ_{02}, Δ_{20}, Δ_{22} zerlegt, und so weiter. Die Ziffer 0 soll dabei der Wahl des kleineren Dreiecks entsprechen. Wir erhalten eine Abbildung c : C → Δ, indem wir die Zahl t = ∑_{j=1}^{∞} τ_{j}3^{−j} auf den Punkt abbilden, der durch die Dreeickschachtelung Δ_{τ_{1}} ∩ Δ_{τ_{1}τ_{2}} ∩ … definiert wird. Zeigen Sie, dass sich c zu einer Hölderstetigen, surjektiven Abbildung c̃: [0, 1] → Δ fortsetzen lässt.

Aufgabe 4 (Quotientenraum) Sei V abgeschlossener Unterraum eines Banachraums X. Zeigen Sie, dass durch

∥ [x] ∥ = inf_{v∈V} ∥x + v∥ für [x] ∈ X/V

eine Norm definiert ist, mit der X/V ein Banachraum ist.

Abgabe am Mittwoch, 3. November, in der Vorlesung