Übungsaufgaben zur Funktionalanalysis WS 04/05, Serie 3 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 3. November 2004

Aufgabe 1 (Hausdorffabstand, Teil II) Sei A die Menge der nichtleeren, abgeschlossenen und beschränkten Teilmengen des ℝ^{n}, versehen mit der Metrik (vgl. Aufgabe 4, Serie 1)

d(A_{1}, A_{2}) = inf {ϱ > 0 : A_{1} ⊂ B_{ϱ}(A_{2}), A_{2} ⊂ B_{ϱ}(A_{1})},

wobei B_{ϱ}(A) = {x ∈ ℝ^{n} : dist(x, A) < ϱ}. Zeigen Sie, dass die Menge {A ∈ A : A ⊂ \overline{B_{R}(0)}\} kompakt ist. Hinweis: Wenden Sie den Satz von Arzela-Ascoli auf die Funktionen f_{A} : \overline{B_{R}(0)} → [0, ∞), f_{A}(x) = dist(x, A), an.

Aufgabe 2 (zur Hölderstetigkeit) Konstruieren Sie eine Folge (f_{k})_{k∈ℕ} ⊂ C^{0,1}([0, 1]) mit folgenden Eigenschaften:

(i) f_{k} → 0 in C^{0,α}([0, 1]) mit k → ∞ für alle α < 1.

(ii) (f_{k})_{k∈ℕ} besitzt keine Teilfolge, die in C^{0,1}([0, 1]) konvergiert.

Aufgabe 3(Kartesisches Produkt von Banachräumen ) Seien (X, ∥ · ∥_{X}) und (Y, ∥ · ∥_{Y}) normierte Räume, und

∥ · ∥_{X×Y} : X × Y → ℝ, ∥(x, y)∥_{X×Y} = ∥x∥_{X} + ∥y∥_{Y} .

Zeigen Sie:

(1) (X × Y, ∥ · ∥_{X×Y}) ist ein normierter Raum.

(2) Sind (X, ∥ · ∥_{X}) und (Y, ∥ · ∥_{Y}) Banachräume, so auch (X × Y, ∥ · ∥_{X×Y}).

Aufgabe 4 (Laplaceoperator und C^{2}-Norm) Sei n ≥ 2. Bestimmen Sie zu gegebenem ε > 0 eine Funktion u_{ε} ∈ C_{c}^{∞}(ℝ^{n}) mit

∥Δu_{ε}∥_{C^{0}(ℝ^{n})} ≤ ε ∥D^{2}u_{ε}∥_{C^{0}(ℝ^{n})}

Anleitung. Machen Sie den Ansatz u_{ε}(x) = η_{ε}(x)h(x) für ein harmonisches quadratisches Polynom h, zum Beispiel h(x) = x_{1}^{2} − x_{2}^{2}, und eine geeignete Abschneidefunktion η_{ε}.

Abgabe am Mittwoch, 10. November, in der Vorlesung