Übungsaufgaben zur Funktionalanalysis WS 04/05, Serie 5 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 17. November 2004

Aufgabe 1 (Transformation von Differentialgleichungen unter Diffeomorphismen) Sei D ⊂ ℝ^{n} offen und konvex, und ϕ : \overline{D} → \overline{B_{1}(0)} ein Diffeomorphismus der Klasse C^{2,α} mit Umkehrabbildung ψ : \overline{B_{1}(0)} → \overline{D}. Gegeben sei auf D eine Lösung u ∈ C^{2,α}(\overline{D}) der Gleichung Lu = f, wobei

Lu = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}∂_{ij}^{2}u + ∑_{i=1}^{n} b_{i}∂_{i}u + cu für a_{ij}, b_{i}, c, f ∈ C^{0,α}(\overline{D}).

(1) Welche Gleichung löst die Funktion v : B_{1}(0) → ℝ, v(y) = u(ψ(y))?

(2) Bestimmen Sie für die transformierte Differentialgleichung C^{0,α}-Schranken für die Koeffizenten, sowie die Elliptizitätskonstante.

Aufgabe 2 (Höhere Regularität) Sei k ∈ ℕ_{0} und α ∈ (0, 1). Betrachten Sie auf B_{1} = B_{1}(0) ⊂ ℝ^{n} eine Lösung u ∈ C^{k+2,α}(B_{1}) der Gleichung Lu = f für L wie in Aufgabe 1, wobei a_{ij}, b_{i}, c, f ∈ C^{k,α}(B_{1}). Zeigen Sie die innere Abschätzung

∥u∥_{C^{k+2,α}(B_{\frac{1}{2}} )} ≤ C (∥f∥_{C^{k,α}(B_{1})} + ∥u∥_{C^{0}(B_{1})}) .

Hinweis. Berechnen Sie eine Gleichung für ∂_{k}u, und verwenden sie Induktion.

Aufgabe 3 (Schwaches Maximumprinzip) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und beschränkt. Gegeben sei eine Lösung u ∈ C^{0}(\overline{Ω}) ∩ C^{2}(Ω) der Differentialungleichung

Lu = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}∂_{ij}^{2}u + ∑_{i=1}^{n} b_{i}∂_{i}u + cu ≥ 0 auf Ω,

wobei die Koeffizienten a_{ij}, b_{i}, c : Ω → ℝ folgende Eigenschaften haben:

(a) Es gibt ein λ > 0 mit ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x)ξ_{i}ξ_{j} ≥ λ|ξ|^{2} für alle x ∈ Ω, ξ ∈ ℝ^{n}.

(b) Es gibt ein β < ∞ mit |b(x)| ≤ β für alle x ∈ Ω.

Zeigen Sie folgende Aussagen:

(1) Ist c ≡ 0, so gilt sup_{Ω} u = sup_{∂Ω} u.

(2) Ist c ≤ 0, so gilt sup_{Ω} u ≤ sup_{∂Ω} u^{+} mit u^{+}(x) = max(u(x), 0).

Hinweis: Hat v ∈ C^{2}(Ω) in x_{0} ∈ Ω ein lokales Maximum, so gilt D^{2}v(x_{0}) ≤ 0. Untersuchen Sie für (1) die Funktionen u_{ε}(x) = u(x) + ε exp(γx_{1}), mit γ > 0 hinreichend groß. Berechnen Sie insbesondere Lu_{ε}. Aussage (2) folgt durch Anwendung von (1) auf Ω^{+} = {x ∈ Ω : u(x) > 0}.

Abgabe am Mittwoch, 24. November, in der Vorlesung