Übungsaufgaben zur Funktionalanalysis WS 04/05, Serie 7 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 30. November 2004

Aufgabe 1 (Hahn-Banach für ℂ-lineare Funktionale) Sei X ein normierter ℂ-Vektorraum und V ⊂ X ein Unterraum (mit der induzierten Norm). Dann gibt es zu φ ∈ V′ ein ϕ ∈ X′ mit

ϕ = φ auf V und ∥ϕ∥_{X′} = ∥φ∥_{V′}.

Anleitung : Setzen Sie erst φ_{1} = Re φ : V → ℝ fort.

Aufgabe 2 (Invertierbarkeit von Operatoren ) Konstruieren Sie einen normierten Raum (X, ∥ · ∥) und eine bijektive Abbildung F ∈ L(X, X), für die F^{−1} nicht in L(X, X) liegt.

Aufgabe 3 (Zur Voraussetzung in Folgerung 4.4) Finden Sie ein Beispiel einer konvexen Menge K ⊂ (X, ∥ · ∥) mit 0 ∉ K, so dass kein φ ∈ X′, φ ≠ 0, existiert mit

φ(x) ≤ 0 für alle x ∈ K.

Aufgabe 4 (Trennen von konvexen Mengen) Seien A, B ⊂ (X, ∥ · ∥) konvex und A ∩ B = ∅. Ist A abgeschlossen und B kompakt, so können A und B strikt getrennt werden, das heißt es gibt ein φ ∈ X′ mit

sup_{x∈A} φ(x) < inf_{x∈B} φ(x).

Abgabe am Mittwoch, 8. Dezember, in der Vorlesung.