Übungsaufgaben zur Funktionalanalysis WS 04/05, Serie 8 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 7. Dezember 2004

Aufgabe 1 (Stetigkeit von Bilinearformen) Seien X, Y Banachräume und B : X × Y → ℝ eine Bilinearform. Für feste x ∈ X bzw. y ∈ Y seien die Abbildungen B(x, ·) bzw. B(·, y) stetig. Zeigen Sie, dass B bezüglich der Norm ∥(x, y)∥_{X×Y} = ∥x∥_{X} + ∥y∥_{Y} stetig ist.

Anleitung : Betrachten Sie für ∥y∥ = 1 die Familie β_{y} : X → ℝ, β_{y}(x) = B(x, y).

Aufgabe 2 (Stützebenen konvexer Mengen) Sei M ⊂ ℝ^{n} konvex. Zeigen Sie, dass in jedem x_{0} ∈ ∂M eine Stützebene existiert, d.h. es gibt ein ν ∈ ℝ^{n} mit |ν| = 1, so dass gilt:

M ⊂ {x ∈ ℝ^{n} : ⟨x − x_{0}, ν⟩ ≤ 0}.

Aufgabe 3 (Konvexe Hülle) Sei X ein normierter ℝ-Vektorraum und A ⊂ X. Die konvexe Hülle von A ist

conv(A) := {∑_{i=1}^{k} α_{i} x_{i} : k ∈ ℕ, x_{i} ∈ A, α_{i} ≥ 0, ∑_{i=1}^{k} α_{i} = 1} .

Zeigen Sie folgende Aussagen:

(a) conv(A) ist konvex und conv(A) = ⋂{K : K konvex, A ⊂ K}.

(b) A offen ⇒ conv(A) ist offen.

(c) A konvex ⇒ Ā und int(A) sind konvex.

(d) Für abgeschlossenes A ist nicht notwendig conv(A) abgeschlossen.

Aufgabe 4 (Punktweise konvergente Operatoren) Sei X ein Banachraum, Y normierter Raum und T_{n} ∈ L(X, Y), n ∈ ℕ, punktweise konvergent, d.h. für x ∈ X existiert T x := lim_{n→∞} T_{n}x. Zeigen Sie:

(a) T ∈ L(X, Y) und ∥T ∥ ≤ lim inf_{n→∞} ∥T_{n}∥.

(b) Finden Sie ein Beispiel mit ′′ <′′ in der Ungleichung aus (a).

Abgabe am Mittwoch, 15. Dezember, in der Vorlesung.