Übungsaufgaben zur Funktionalanalysis WS 04/05, Serie 9 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 16. Dezember 2004

Aufgabe 1 (Eindeutigkeit der Jordan-Hahn-Zerlegung) Sei λ ein signiertes Maß auf der σ-Algebra E ⊂ 2^{X}. Beweisen Sie, dass die Darstellung λ = λ^{+} − λ^{−} mit zueinander singulären Maßen λ^{±} eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe 2 (Satz von Radon-Nikodym für signierte Maße) Formulieren und beweisen Sie eine Fassung des Satzes von Radon-Nikodym für signierte Maße.

Aufgabe 3 (Kettenregel für Radon-Nikodym-Dichten) Betrachten Sie auf einer σ-Algebra E ⊂ 2^{X} die σ-endlichen Maße μ_{0}, μ_{1}, μ_{2} mit μ_{2} ≪ μ_{1} ≪ μ_{0}. Zeigen Sie, dass für μ_{0}-fast-alle x ∈ X gilt:

\frac{dμ_{2}}{dμ_{0}} = \frac{dμ_{2}}{dμ_{1}} \frac{dμ_{1}}{dμ_{0}} .

Aufgabe 4 (Grenzwerte der L^{p}-Normen) Sei μ ein Maß äußeres Mass mit μ(X) = 1, und u : X → [0, ∞) sei μ-messbar. Bestimmen Sie für p → ±∞ die Grenzwerte, falls existent, der Funktion

ϕ(p) = ( ∫_{X} u^{p} dμ)^{\frac{1}{p}} .

Abgabe am Mittwoch, 22. Dezember, in der Vorlesung.