Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 1 PD Dr. M. Simon 19.Oktober 2009 Florian Link

Aufgabe 1 (4 Punkte) Sei U ⊂ ℂ ein Gebiet (d.h. offen, zusammenhängend und nicht leer) und f : U → ℂ holomorph. Zeige, daß f̄: U → ℂ nur dann holomorph ist, wenn f konstant ist.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Zeige: f : U → ℂ (genauer: (f̃^{Re}, f̃^{Im}) : U ⊂ ℝ^{2} → ℝ^{2}) ist stetig partiell differenzierbar mit ¯∂f = 0 genau dann, wenn f holomorph ist.

Aufgabe 3 (4 Punkte) Beweise: Die in der Vorlesung definierte Abbildung^{φ}J_{p} : T_{p}M → T_{p}M ist unabhängig von den gewählten Koordinaten, d.h. für zwei Karten φ, ψ gilt ^{φ}J = ^{ψ}J.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Prüfe anhand der Definition von J_{p}

(1) J_{p} (\frac{^{φ}∂}{∂x^{i}} (p)) = \frac{^{φ}∂}{∂y^{i}} (p)
(2) J_{p} (\frac{^{φ}∂}{∂y^{i}} (p)) = −\frac{^{φ}∂}{∂x^{i}} (p)

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 26.10.2009 bis 15:00 Uhr.