Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 10 PD Dr. M. Simon 21.Dezember 2009 Florian Link

In den folgenden Aufgaben wird immer auf den Kontext/die Notation aus der Vorlesung Bezug genommen.

Aufgabe 1 (4 Punkte) Folgern Sie aus dem bisher in der Vorlesung Bewiesenen (insbesondere aus Lemma 7.9) die Abschätzung

Δ_{g} (e^{−cφ}(n + Δ_{l}φ)) ≥ −ce^{−cφ}(Δ_{g}φ)(n + Δ_{l}φ) + e^{−cφ}Δ_{g}(Δ_{l}φ)

−e^{−cφ}g^{iī}(∑_{s=1}^{n} φ_{ss̄i})^{2} (n + Δ_{l}φ)^{−1},

wobei auch hier die speziellen Koordinaten aus der Vorlesung Verwendung finden.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Zeigen Sie: Für r_{i} > 0 gilt

(∏_{j=1}^{n} r_{j}) (∑_{i=1}^{n} \frac{1}{r_{i}} )^{n−1} ≥ ∑_{i_{1}}^{n} r_{i}.

Aufgabe 3 (4 Punkte) Sei u : M × [0, T) → ℝ eine glatte Lösung von

\{ \begin{matrix}∂_{t}u = Δ_{l}u − u \\ u(·, 0) = 0, \end{matrix}

wobei (M, l) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit sei. Zeigen Sie per Induktion und mit Hilfe des Maximumprinzips, daß

|^{l}∇^{j+1}u|≤ c (c_{0}, u(·, 0)) ,

wobei |u|, |^{l}∇u|, …, |^{l}∇^{j}u|≤ c_{0}.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 11.01.2010 bis 15:00 Uhr. Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!