Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 11 PD Dr. M. Simon 11.Januar 2010 Florian Link

In den folgenden Aufgaben wird immer auf den Kontext/die Notation aus der Vorlesung Bezug genommen.

Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie, daß für die Kählerformen ω_{g} und ω_{l} aus der Vorlesung in einem fixierten Punkt p und geeigneten Koordinaten

(ω_{g})^{n−j−1} ∧ (ω)^{j} = ∑_{k=1}^{n} b_{k}^{(j)}i^{n−1}dz^{1} ∧ dz̄^{1} ∧ … ∧ { \atop dz^{k} ∧ dz̄^{k}} ∧ ⋯ ∧ dz^{n} ∧ dz̄^{n}

für 0 ≤ j ≤ n − 1 und b_{k}^{(j)} ≥ 0. Hierbei bedeutet wie üblich, daß die darunterliegende Form auszulassen ist.

Aufgabe 2 (Lemma 8.2 aus der Vorlesung) (4 Punkte) Weisen Sie nach, daß für Kählermetriken l und g_{i} := l + ∂ ¯∂φ_{i} (i = 1, 2) mit induzierten Kählerformen ω_{i}

\frac{1}{2}dd_{c}(φ_{1}−φ_{2})∧((ω_{1})^{n−1}+(ω_{1})^{n−2}∧ω_{2}+…+ω_{1}∧(ω_{2})^{n−2}+(ω_{2})^{n−1}) = −(ω_{1})^{n}+(ω_{2})^{n}

gilt.

Aufgabe 3 (4 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe der Vorlesung, daß für Kähler-Einstein-Metriken g_{1}, g_{2} auf einer Kählermannigfaltigkeit (M, l) mit c_{1}(M) < 0 und induzierten Kählerformen ω_{l}, ω_{1}, ω_{2} respektive, welche in der Kählerklasse von ω_{l} enthalten sind (ω_{1}, ω_{2} ∈ K_{ω_{l}}), g_{1} = g_{2} gilt.

Zusatz: Falls

log det(l + ∂ ¯∂φ_{i}) − log det(l) − φ_{i} − f = 0 (i = 1, 2),

so folgt

φ_{1} = φ_{2}.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 18.01.2010 bis 15:00 Uhr.