Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 13 PD Dr. M. Simon 25.Januar 2010 Florian Link

In den folgenden Aufgaben wird immer auf den Kontext/die Notation aus der Vorlesung Bezug genommen.

Aufgabe 1 (4 Punkte) Auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit (M^{2n}, l) mit c_{1}(M) = 0 seien zwei Kähler-Einstein-Metriken g_{1}, g_{2} aus der Kählerklasse von ω_{l} gegeben (d.h. es existieren φ_{i} ∈ C^{∞}(M, ℝ) mit g_{i} = l + ∂ ¯∂φ_{i} (i = 1, 2)). Zeigen Sie, daß g_{1} = g_{2} gilt.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Sei (M^{2n}, g) Kähler und ξ ∈ Ω^{p}(M). Weisen Sie nach, daß die harmonischen Anteile von ∂ξ bzw. ¯∂^{∗}ξ verschwinden, d.h. daß

H(∂ξ) = 0 bzw. H(¯∂^{∗}ξ) = 0

gilt.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 01.02.2010 bis 15:00 Uhr.