Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 15 PD Dr. M. Simon 08.Februar 2010 Florian Link

In den folgenden Aufgaben wird immer auf den Kontext/die Notation aus der Vorlesung Bezug genommen.

Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie daß für die in der Vorlesung durch η := lim_{ε↘0} ρ_{^{ε}ω} definierte (1,1)-Form

η > 0 und η ∈ c_{1}(Ẽ) gilt (,d.h. es gälte somit c_{1}(Ẽ) > 0).

Aufgabe 2 (4 Punkte) Weisen Sie nach, daß für das Kählerpotential F und das holomorphe Vektorfeld X aus der Vorlesung, η wie oben,

∫Ẽ X(F)η^{4} > 0

gilt.

Bem. Somit wäre also gezeigt, daß auf der Kählermannigfaltigkeit Ẽ mit c_{1}(Ẽ) > 0 keine Kähler-Einstein-Metrik existiert.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 15.02.2010 bis 15:00 Uhr.