Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 2 PD Dr. M. Simon 26.Oktober 2009 Florian Link

In den folgenden Aufgaben wird immer auf den Kontext/die Notation aus der Vorlesung Bezug genommen.

Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie: Das (komplexe) Vektorbündel

π′′ : (T M)′′_{ℂ} → M^{2n}

ist i.Allg. (mit den in der Vorlesung gegebenen Karten) nicht holomorph.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Zeigen Sie die analoge Aussage für

π_{ℂ} : (T M)_{ℂ} → M^{2n}.

Aufgabe 3 (4 Punkte) Sei X : M^{2n} → T M ein glattes Vektorfeld. Zeigen Sie die Äquivalenz:

X ist automorph ⇔ X ist holomorph

Aufgabe 4 (4 Punkte) Weisen Sie die Wohldefiniertheit (d.h. die Unabhänigkeit von den gewählten Koordinaten) des Raumes Ω^{r,s} ((T M)_{ℂ}) , sowie der auf diesem Raum definierten Operatoren ∂ und ¯∂ nach.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 02.11.2009 bis 15:00 Uhr.