Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 3 PD Dr. M. Simon 02.November 2009 Florian Link

In den folgenden Aufgaben wird immer auf den Kontext/die Notation aus der Vorlesung Bezug genommen.

Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie die Identitäten ∂ ¯∂ = −¯∂∂ und ∂^{2} = ¯∂^{2} = 0.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Geben Sie einen (ausführlichen) Beweis der in der Vorlesung skizzierten Richtung ”4.) ⇒ 5.)” aus Proposition 3.8.

Aufgabe 3 (4 Punkte) Beweisen Sie: Man kann 5.) aus Proposition 3.8 verallgemeinern zu 5.)_{l}:

Für alle p_{0} ∈ M und für alle l ∈ ℕ existieren Koordinaten φ̃_{l} : U ϶ p_{0} → φ̃(U) ⊂ ℂ^{n} mit φ̃(p_{0}) = 0 und

\frac{∂^{m}g_{ij̄}}{∂z^{k_{1}} ⋯ ∂z^{k_{m}}} (0) = 0

∀m ⩽ l, wobei k_{1}, …, k_{m} ∈ {1, …, n}.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Weisen Sie folgende Identitäten nach:

Γ_{ij̄}^{k} = Γ_{īj}^{k} = Γk̄ ; īj = Γk̄ ; ij̄ = 0

und

Γ_{ij}^{k} = \overline{Γk̄ ; ī ; j̄}.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 09.11.2009 bis 15:00 Uhr.