Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 4 PD Dr. M. Simon 09.November 2009 Florian Link

In den folgenden Aufgaben wird immer auf den Kontext/die Notation aus der Vorlesung Bezug genommen.

Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie, daß die Inverse von (A_{ij}) := (g_{ij̄})_{i,j∈{1,...,n}} existiert.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Weisen Sie für einen fixierten Punkt p ∈ M^{2n} die Existenz von Koordinaten φ̃: U ⊂ M → ℂ^{n} nach, sodaß für die Koordinatenvektorfelder im Punkt p gilt:

g (\frac{^{φ}∂}{∂x^{i}} , \frac{^{φ}∂}{∂x^{j}} ) = g (\frac{^{φ}∂}{∂y^{i}} , \frac{^{φ}∂}{∂y^{j}} ) = δ_{ij}

sowie

g (\frac{^{φ}∂}{∂x^{i}} , \frac{^{φ}∂}{∂y^{j}} ) = 0.

Somit erhält man eine g-Orthonormalbasis {e_{1}, Je_{1}, e_{2}, Je_{2}, …, e_{n}, Je_{n}} für T_{p}M.

Aufgabe 3 (Bi-Schnittkrümmung) (4 Punkte) Beweisen Sie: Für X, Y ∈ T_{p}M mit g(p) (X, X) = g(p) (Y, Y) = 1 und g(p) (X, Y) = 0 gilt

Bi − Schnitt (X, Y) = R (u, ū, v, v̄)

wobei u := \frac{1}{\sqrt{2}} (X − iJ(X)) und v := \frac{1}{\sqrt{2}} (Y − iJ(Y)) .

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 16.11.2009 bis 15:00 Uhr.