Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 5 PD Dr. M. Simon 16.November 2009 Florian Link

In den folgenden Aufgaben wird immer auf den Kontext/die Notation aus der Vorlesung Bezug genommen.

Aufgabe 1 (4 Punkte) Sei A ∈ SU(n + 1) und g(·, ·) := ω(·, J·), wobei ω wie in Beispiel 3.19 aus der Vorlesung definiert sei. Zeigen Sie: g ist eine Riemannsche Metrik und A induziert eine wohldefinierte glatte isometrische Abbildung Ã: (ℂℙ^{n}, g) → (ℂℙ^{n}, g) , wobei

Ã([(z_{0}, z_{1}, …, z_{n})]) := [A(z_{0}, …, z_{n})] .

Aufgabe 2 (4 Punkte) (ℂℙ^{n}, g) ,g wie oben definiert, hat konstante Bi-Schnittkrümmung λ = 1.

Aufgabe 3 (4 Punkte) Sei M := B^{2n} := {z ∈ ℂ^{n} : |z| < 1} und g(·, ·) := ω(·, J·), wobei

ω(z) := i∂ ¯∂log (1 − |z|^{2}) .

Zeigen Sie: (M, g) hat konstante Bi-Schnittkrümmung λ = −1.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Weisen Sie

\frac{∂}{∂z̄} \frac{∂}{∂z} log|z|^{2} = 0

nach.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 23.11.2009 bis 15:00 Uhr.