Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 6 PD Dr. M. Simon 23.November 2009 Florian Link

In den folgenden Aufgaben wird immer auf den Kontext/die Notation aus der Vorlesung Bezug genommen.

Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie, daß für n > 2 und N ∈ Ω^{1,1}(M^{2n}, ℂ) in lokalen Koordinaten in einem Punkt p mit g_{ij̄}(p) = δ_{ij}

N ∧ N̄ ∧ ω^{n−2} = c(n) [− (∑_{i=1}^{n} N_{iī}) (∑_{j=1}^{n} \overline{N_{jj̄}}) + ||N||2 ; h̃] ω^{n}

gilt, wobei N = N_{ij̄}dz^{i} ∧ dz̄^{j}. Aufgabe 2 (4 Punkte) Weisen Sie nach, daß der Ausdruck

f(z) = \frac{det G_{g}(z)}{det Gĝ(z)},

mit G_{g}(z) = (g_{ij̄}(z))_{i,j∈{1,...,n}} , unabhängig von den gewählten Koordinaten ist.

Aufgabe 3 (Zusatz zu ∂ ¯∂-Lemma) (4 Punkte) Beweisen Sie: Falls dΨ ∈ Ω^{1,1}(M, ℂ) ∩ Ω^{2}(M, ℝ), dann gilt

dΨ = i∂ ¯∂u

für ein u ∈ C^{∞}(M, ℝ).

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 30.11.2009 bis 15:00 Uhr.