Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 7 PD Dr. M. Simon 30.November 2009 Florian Link

In den folgenden Aufgaben wird immer auf den Kontext/die Notation aus der Vorlesung Bezug genommen.

Aufgabe 1 (4 Punkte) Sei N ∈ Ω^{1,1}(M, ℂ). Zeigen Sie, daß

N_{ij̄} = \overline{N_{jī}},

falls in lokalen Koordinaten N = iN_{kl̄}dz^{k} ∧ dz̄^{l} gilt. Aufgabe 2 (4 Punkte) Es gibt genau einen Operator ¯∂^{∗} : Ω^{p,q+1}(M, ℂ) → Ω^{p,q}(M, ℂ) mit

∗)  ∫_{M} h̃ (¯∂^{∗}α, β) dvol_{g} = ∫_{M} h̃ (α, ¯∂β) dvol_{g}

für alle α ∈ Ω^{p,q+1}(M, ℂ) und β ∈ Ω^{p,q}(M, ℂ). Weisen Sie nach, daß der für α ∈ Ω^{1}(M, ℂ) mit α = α_{i}dz^{i} + αj̄dz̄^{j} lokal definierte Operator

−g^{ij̄}\frac{∂αj̄}{∂z^{i}} =: ¯∂^{∗}α

obige Eigenschaft ∗) besitzt.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 07.12.2009 bis 15:00 Uhr.