Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 8 PD Dr. M. Simon 07.Dezember 2009 Florian Link

In den folgenden Aufgaben wird immer auf den Kontext/die Notation aus der Vorlesung Bezug genommen.

Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie: Der skalare Kähler-Ricci-Flow (SKRF) ist äquivalent zum Ricci-Flow (RF) einer Kähler-Metrik.

Bemerkung: Sie dürfen hierfür annehmen, daß für den SKRF, RF und den Kähler-Ricci-Flow (KRF) Kurzzeitexistenz und Eindeutigkeit gewährleistet ist.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Zeigen Sie, daß der durch (M^{2n}, g) induzierte (lokale) skalare Kähler-Ricci-Flow gegeben ist durch

\frac{∂u}{∂t}(x, t) = F_{l} (∂ ¯∂u(x, t), x, t) ,

wobei

F_{l} : \{ \begin{matrix}ℂ^{n×n} × V × ℝ → ℝ \\ (p, x, t) ↦ F_{l}(p, x, t). \end{matrix}

Hierbei ist φ : U → V ⊂ ℝ^{2n} eine Karte. Weisen Sie außerdem nach, daß die Gleichung des SKRF parabolisch ist. Hierzu genügt es (mit Hilfe der parabolischen Theorie - siehe z.B. das Skriptum von O.Schnürer) zu zeigen, daß

(\frac{∂F_{l}}{∂p_{ij}} (p, x, 0))_{i,j∈\{1,...,n\}} > 0.

Aufgabe 3 (4 Punkte) Für glatte Funktionen f, g ∈ C^{∞}(M^{2n}, ℝ) gilt die Produktregel

Δ_{h}(fg) = gΔ_{h}f + fΔ_{h}g + 2h(^{h}∇g,^{h}∇f).

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 14.12.2009 bis 15:00 Uhr.