Übungsaufgaben zur Vorlesung Komplexe Geometrie und Kähler-Einstein Metriken WS 09/10, Serie 9 PD Dr. M. Simon 14.Dezember 2009 Florian Link

In den folgenden Aufgaben wird immer auf den Kontext/die Notation aus der Vorlesung Bezug genommen.

Aufgabe 1 (4 Punkte)

a) f : M × [0, 1] → ℝ mit f > 0 erfülle die partielle Differentialgleichung

\frac{∂f}{∂t} ≤ Δ_{l(t)}f − c_{2}f^{2} + c_{1}f + c_{0},

wobei c_{2} ∈ (0, ∞), c_{1}, c_{0} ∈ ℝ und {h(t)} eine glatte Einparameterfamilie von riemannschen Metriken sei. Zeigen Sie mit Hilfe des Maximumprinzips

sup_{M}f(·, t) ≤ \frac{α(c_{2}, c_{1}, c_{0})}{t}

für eine Konstante α.

b) (Verallgemeinerung von Lemma 7.6) f : M × [0, T) → ℝ mit f > 0 erfülle

\frac{∂f}{∂t} ≤ Δ_{l(t)}f − c_{2}f^{p} + c_{1}f^{q} + c_{0},

wobei 0 < q < p < ∞, c_{2} ∈ (0, ∞), c_{1}, c_{0} ∈ ℝ und {h(t)} eine glatte Einparameterfamilie von riemannschen Metriken sei. Zeigen Sie wieder mit Hilfe des Maximumprinzips, daß eine Konstante K_{0} = K_{0} (c_{2}, c_{1}, c_{0}, p, q, sup_{M}|f(·, 0)|) < ∞ unabhängig von T existiert, sodaß

sup_{M×[0,T)}f ≤ K_{0}.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Weisen Sie nach, daß für φ ∈ C^{∞}(M^{2n}, ℂ) die partiellen Ableitungen vertauschen:

\frac{∂^{2}φ}{∂z^{i}∂z̄^{j}} = \frac{∂^{2}φ}{∂z̄^{j}∂z^{i}} , bzw. \frac{∂^{2}φ}{∂z^{i}∂z^{j}} = \frac{∂^{2}φ}{∂z^{j}∂z^{i}} , bzw. \frac{∂^{2}φ}{∂z̄^{i}∂z̄^{j}} = \frac{∂^{2}φ}{∂z̄^{j}∂z̄^{i}} .

Aufgabe 3 (4 Punkte) Schließen Sie die Lücke der Rechnung aus der Vorlesung, d.h. zeigen Sie, daß

g^{ij̄}\frac{∂^{2}}{∂z^{i}∂z̄^{j}} (l^{st̄}\frac{∂^{2}φ}{∂z^{s}∂z̄^{t}} ) = ∑_{i,s=1}^{n} (−g^{iī}\frac{∂^{2}l_{ss̄}}{∂z̄^{i}∂z^{i}} φ_{ss̄} + g^{iī}φ_{iīss̄}) .

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 21.12.2009 bis 15:00 Uhr.