Partielle Differentialgleichungen SS 05, Serie 1 Prof. Dr. E. Kuwert 19. April 2005

Aufgabe 1 (L^{2}-Abschätzungen: Absorptionstechnik) Sei D = {x ∈ ℝ^{2} : |x| < 1} und u ∈ W^{2,2}(D) erfülle die Ungleichung

|Δu| ≤ Λ |Du|^{2} L^{2}-fast-überall auf D.

Zeigen Sie die Existenz universeller Konstanten c > 0 und C < ∞, so dass gilt:

|Λ| ∥Du∥_{L^{2}(D)} < c ⇒ ∥D^{2}u∥_{L^{2}(B_{\frac{1}{2}} )} ≤ C ∥Du∥_{L^{2}(D)}.

Anleitung: Sie können annehmen dass ∫_{D} u = 0. Leiten Sie mit der Vorlesung eine L^{2}-Abschätzung für D^{2}(ηu) her, und verwenden Sie dann für den quadratischen Term die Soboleveinbettung W^{1,1}(ℝ^{2}) ⊂ L^{2}(ℝ^{2}).

Aufgabe 2 (Differenzenquotienten) Finden Sie ein Gebiet Ω ⊂ ℝ^{n}, so dass Lip(Ω) echter Unterraum von W^{1,∞}(Ω) ist. Geben Sie eine hinreichende Bedingung für Ω, damit die Räume gleich sind.

Aufgabe 3 (Differenzenquotienten) Konstruieren Sie ein Beispiel einer Funktion u : I = (−1, 1) → ℝ mit u ∉ W^{1,1}(I), aber ∥Δ^{h}u∥_{L^{1}} ≤ C unabhängig von h ≠ 0. Lemma 1.3 gilt also nicht für p = 1.

Aufgabe 4 (L^{2} a priori Abschätzungen) Sei φ ∈ C^{1}(ℝ) mit ∥φ′∥_{L^{∞}(ℝ)} ≤ L < ∞, und u ∈ W^{1,2}(ℝ^{n}) löse die Gleichung

−Δu + φ(u) = f ∈ L^{2}(ℝ^{n}).

Zeigen Sie u ∈ W^{2,2}(ℝ^{n}).

Aufgabe A1 (Caccioppoli-Ungleichungen: Anwesenheitsübung) Sei u ∈ W^{1,2}(B_{R}(x_{0})) harmonisch, also Δu = 0. Zeigen Sie für a ∈ ℝ:

∫_{B_{\frac{R}{2}} (x_{0})} |Du|^{2} ≤ \frac{C}{R^{2}} ∫_{B_{R}(x_{0})\B_{\frac{R}{2}} (x_{0})} |u − a|^{2}

Wählen Sie a als Mittelwert von u auf dem Annulus und schließen Sie mit der Poincaré-Ungleichung

∫_{B_{\frac{R}{2}} (x_{0})} |Du|^{2} ≤ θ ∫_{B_{R}(x_{0})} |Du|^{2} für ein θ = θ(n) ∈ (0, 1).

Zeigen Sie: jede beschränkte harmonische Funktion auf ℝ^{n} ist konstant (Liouville).

Bearbeiten Sie drei der vier Aufgaben. Abgabe am Mittwoch 27.04.2005.