Partielle Differentialgleichungen SS 05, Serie 2 Prof. Dr. E. Kuwert 26. April 2005

Aufgabe 1 (Zur Legendre-Hadamard Bedingung I) Für a_{αβ}^{ij} ∈ ℝ mit 1 ≤ i, j ≤ n, 1 ≤ α, β ≤ N gelte

B(φ, φ) = ∫_{ℝ^{n}} a_{αβ}^{ij}∂_{i}φ^{α}∂_{j}φ^{β} ≥ 0 für alle φ ∈ C_{c}^{∞}(ℝ^{n}, ℝ^{N}).

Folgern Sie daraus die Legende-Hadamard-Bedingung

a_{αβ}^{ij}ξ_{i}ξ_{j}η^{α}η^{β} ≥ 0 für alle ξ ∈ ℝ^{n}, η ∈ ℝ^{N}.

Anleitung: Wählen Sie φ(x) = γ(x)e^{it⟨ξ,x⟩}η.

Aufgabe 2 (Legendre-Hadamard Bedingung II) Betrachten Sie für f ∈ C^{2}(\overline{Ω} × ℝ^{N} × ℝ^{N×n}) das Variationsintegral

F(u) = ∫_{Ω} f(x, u(x), Du(x)) dx, wobei u ∈ C^{1}(\overline{Ω}, ℝ^{N}).

Es gelte F(u) ≤ F(u + tϕ) für alle ϕ ∈ C_{c}^{∞}(Ω, ℝ^{N}). Folgern Sie mit Aufgabe 1 die Legendre-Hadamard-Bedingung für die Koeffizienten

a_{αβ}^{ij}(x) = \frac{∂^{2}f}{∂p_{i}^{α}∂p_{j}^{β}} (x, u(x), Du(x)).

Anleitung: Verwenden Sie \frac{d^{2}}{dt^{2}} F(u + tϕ)|_{t=0} ≥ 0 und wählen Sie Φ(x) = φ(\frac{x−x_{0}}{ϱ}).

Aufgabe 3 (Sobolevräume auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten) Definieren Sie den Sobolevraum W^{k,p}(M) sowie den Begriff des elliptischen Operators für eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit M (ohne Rand), und begründen Sie die Gültigkeit der globalen L^{2} a priori Abschätzungen.

Aufgabe 4 (Biharmonische Funktionen) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes, glattes Gebiet. Formulieren Sie die Randwertaufgabe für den Bi-Laplaceoperator

Δ^{2}u = f in Ω, u = Δu = 0 auf ∂Ω,

als Problem für ein System zweiter Ordnung, und zeigen Sie damit die Existenz einer Lösung.

Anwesenheitsaufgabe (Schwache und klassische Lösungen) Betrachten Sie für ein beschränktes C^{2,α}-Gebiet Ω ⊂ ℝ^{n} und Koeffizienten a^{ij}, b^{i} ∈ C^{1,α}(\overline{Ω}), c^{i}, q, f ∈ C^{0,α}(\overline{Ω}) den Operator

L : W_{0}^{1,2}(Ω) → W_{0}^{1,2}(Ω)′, Lu = −∂_{j}(a^{ij}∂_{i}u) − ∂_{j}(b^{j}u) + c^{j}∂_{j}u + qu.

Zeigen Sie: ist die schwache Lösung u ∈ W_{0}^{1,2}(Ω) in C^{0,α}(\overline{Ω}), so folgt u ∈ C^{2,α}(\overline{Ω}). Hinweis: Betrachten Sie zuerst den Fall q−∂_{j}b^{j} ≥ 0 und verwenden Sie die Schauder-Lösungstheorie und das schwache Maximumprinzip.

Bearbeiten Sie zwei der vier Aufgaben. Abgabe am Mittwoch 4.5.2005.