Partielle Differentialgleichungen SS 05, Serie 3 Prof. Dr. E. Kuwert 29. April 2005

Aufgabe 1 (Einfachheit des ersten Eigenwerts) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen, beschränkt und zusammenhängend, und Lu = −∂_{j}(a^{ij}∂_{i}u) + qu mit a^{ij} = a^{ji} und a^{ij}, q ∈ C^{∞}(\overline{Ω}). Zeigen Sie: ist λ ∈ ℝ der kleinste Eigenwert von L bezüglich Nullrandwerten, so ist der zugehörige Eigenraum eindimensional und die Eigenfunktion hat keine Nullstelle in Ω. Anleitung: Maximumprinzip von Hopf für v = |u|.

Aufgabe 2 (Grenzwerte von L^{p}-Normen) Sei μ ein Maß auf X mit μ(X) = 1, und u : X → [0, ∞] sei μ-messbar. Bestimmen Sie für p ↗ ∞, p ↘ −∞ und p → 0 die Grenzwerte der Funktion

ϕ(p) = (∫_{X} u^{p} dμ)^{\frac{1}{p}} .

Anwesenheitsaufgabe (Nichtlineares Maximumprinzip) Für offenes und beschränktes Ω ⊂ ℝ^{n} mit C^{2}-Rand betrachten wir die voll nichtlineare, elliptische Differentialgleichung

F (x, u(x), Du(x), D^{2}u(x)) = 0 für x ∈ Ω.

Dabei sei F ∈ C^{1}(\overline{Ω} × ℝ × ℝ^{n} × ℝ^{n×n}) mit

\frac{∂F}{∂Q_{ij}} (x, z, p, Q)ξ_{i}ξ_{j} > 0 für alle ξ ∈ ℝ^{n}\\{0\}, und \frac{∂F}{∂z} (x, z, p, Q) ≤ 0.

Sind dann u, v ∈ C^{2}(Ω) ∩ C^{0}(\overline{Ω}) mit u ≤ v auf ∂Ω und

F (·, v, Dv, D^{2}v) ≤ 0 ≤ F (·, u, Du, D^{2}u) in Ω,

so folgt u ≤ v in Ω.

Bearbeiten Sie beide Aufgaben. Abgabe am Mittwoch 11.5.2005.