Partielle Differentialgleichungen SS 05, Serie 4 Prof. Dr. E. Kuwert 10. Mai 2005

Aufgabe 1 (Skalierung) Folgern Sie Satz 3.3 für beliebige R > 0 aus dem Fall R = 1.

Aufgabe 2 (Globale Harnackungleichung) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränktes Gebiet und u : Ω → [0, ∞) messbar. Es gebe eine Konstante γ < ∞ mit

sup_{B_{r}(x)} u ≤ γ inf_{B_{r}(x)} u für alle B_{r}(x) ⊂ Ω.

Zeigen Sie für jede relativ kompakte, offene Teilmenge Ω′ ⊂ Ω die Abschätzung

sup_{Ω′} u ≤ C inf_{Ω′} u mit C = C(γ, Ω, Ω′).

Anwesenheitsaufgabe (Parabolische Supremumsabschätzung) Sei u ∈ C^{2}(ℝ^{n} × [0, T)), n ≥ 3, eine nichtnegative, ℤ^{n}-periodische Lösung von

\frac{∂u}{∂t} − Δu ≤ 0.

Zeigen Sie für Ω = (0, 1)^{n} und 0 < τ ≤ 1 die Abschätzung

sup_{Ω} u(·, τ) ≤ C(n)τ^{− \frac{n}{4}} ∥u(·, 0)∥_{L^{2}(Ω)}.

Anleitung: durch Testen mit φ = u^{1+2α} ergibt sich für w = u^{1+α} die Ungleichung

0 ≤ ∫_{Ω} |Dw(·, t)|^{2} ≤ −\frac{1 + α}{2(1 + 2α)} (\frac{d}{dt} ∫_{Ω} w^{2}) (t).

Integrieren von t_{1} bis t_{2} und Sobolev ergibt

(∫_{Ω} w(·, t_{2})^{2κ})^{1/κ} ≤ \frac{C(n)}{t_{2} − t_{1}} ∫_{Ω} w(·, t_{1})^{2}.

Jetzt iterieren Sie mit 1 + α = κ^{ν} und t_{ν} = (1 − 2^{−ν})τ für ν ∈ ℕ_{0}.

Bearbeiten Sie beide Aufgaben. Abgabe am Mittwoch 18.5.2005.