Partielle Differentialgleichungen SS 05, Serie 4 Prof. Dr. E. Kuwert 7. Juni 2005

Aufgabe 1 (Harnackungleichung auf ℝ^{n}) Zeigen Sie für eine Lösung u der gleichmäßig elliptischen Gleichung ∂_{j}(a^{ij}∂_{i}u) = 0 auf ℝ^{n} folgende Aussagen, wobei M(r) = max_{|x|=r} u(x) und m(r) = min_{|x|=r} u(x):

(1) M ist nichtfallend, und m ist nichtwachsend.

(2) Entweder ist u konstant, oder es gibt Konstanten c_{0} > 0, α > 0 und C < ∞ mit M(r) − m(r) ≥ c_{0}r^{α} − C.

(3) Falls u beschränkt ist, ist u konstant (Satz von Liouville).

Aufgabe 2 (Bernsteinsatz für Minimalflächen) Sei Σ ⊂ ℝ^{n+1} eine Minimalfläche, die als Graph der glatten Funktion u : ℝ^{n} → R gegeben ist. Zeigen Sie: ist die Steigung des Graphen, also Du, beschränkt, so ist u affin-linear und damit Σ eine Hyperebene.

Bemerkung. Für n ≤ 7 gilt der Satz auch ohne die Schranke an die Steigung. Im Fall n = 2 kann man das auf den klassischen Satz von Liouville zurückführen, während für 3 ≤ n ≤ 7 Geometrische Maßtheorie benötigt wird. Für n ≥ 8 gibt es Gegenbeispiele.

Anwesenheitsaufgabe (Nichtlineares Eigenwertproblem) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränktes Gebiet, und u ∈ W_{0}^{1,2}(Ω) schwache Lösung der Gleichung

−Δu = |u|^{p−1}u, wobei 1 < p < \frac{n + 2}{n − 2}.

Zeigen Sie der Reihe nach:

(1) u ∈ C_{loc}^{0,α}(Ω) für ein α > 0.

(2) u ∈ C_{loc}^{2,α}(Ω) (vgl. Anwesenheitsübung, Serie2).

(3) Aus u ≥ 0 folgt u > 0 und u ∈ C^{∞}(Ω) (z.B. mit Hopf-Maximumprinzip).

(4) Die Gleichung besitzt eine strikt positive Lösung u ∈ W_{0}^{1,2} ∩ C^{∞}(Ω) (Minimieren Sie das Dirichletintegral unter der Nebenbedingung ∥u∥_{L^{p+1}(Ω)} = 1).

Bearbeiten Sie beide Aufgaben. Abgabe am Mittwoch 25.5.2005.