Übungsaufgaben zur Vorlesung Funktionentheorie SS 10, Serie 2 PD Dr. M. Simon 28.April 2010 Florian Link

Aufgabe 1 (4 Punkte) Seien f : U → ℂ und g : V → ℂ holomorph, wobei U, V ⊂ ℂ offen. Dann gilt

a) f + g : U ∩ V → ℂ und f · g : U ∩ V → ℂ sind holomorph mit

(f + g)′(z) = f′(z) + g′(z)

und

(f · g)′(z) = f′(z) · g(z) + f(z) · g′(z)

für alle z ∈ U ∩ V.

b) Falls g(z) ≠ 0 für alle z ∈ V, so ist \frac{f}{g} : U ∩ V → ℂ holomorph mit

(\frac{f}{g} )′ (z) = \frac{f′(z)g(z) − g′(z)f(z)}{g^{2}(z)}

für alle z ∈ U ∩ V.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Sei U ⊂ ℂ offen und f : U → ℂ holomorph.

a) Für z ∈ U sei z =: x + iy. Zeigen Sie, dass dann f̃ definiert durch

f̃: \{ \begin{matrix}U ⊂ ℝ^{2} → ℝ^{2} \\ (x, y) ⟼ ( \begin{matrix}f̃^{1}(x, y) := Re(f(z)) \\ f̃^{2}(x, y) := Im(f(z)) \end{matrix} ) \end{matrix}

(total reell) differenzierbar ist, wenn man U als Teilmenge des ℝ^{2} auffasst. Zeigen Sie außerdem, dass für die Jacobimatrix von f̃ gilt

Df̃ = ( \begin{matrix}\frac{∂f̃^{1}}{∂x} & −\frac{∂f̃^{2}}{∂x} \\ \frac{∂f̃^{2}}{∂x} & \frac{∂f̃^{1}}{∂x} \end{matrix} ) .

b) Eine Funktion g : U ⊂ ℂ → ℂ heiße lokal konstant (auf U), falls für alle z ∈ U ein Ball B_{r}(z) ⊂ U existiert, so dass g|_{B_{r}(z)} konstant ist. Beweisen Sie: Falls f′ ≡ 0 auf U, so ist f lokal konstant. (bitte wenden!) c) Eine differenzierbare Funktion l : U ⊂ ℝ^{2} → ℝ^{2} heiße konform, falls eine

Funktion λ : U → ℝ^{+} existiert, so dass

< Dl(p)(v), Dl(p)(w) >_{ℝ^{2}}= λ(p) < v, w >_{ℝ^{2}}

für alle v, w ∈ ℝ^{2} und p ∈ U ist. Zeigen Sie: Ist f′ ≠ 0 auf U, so ist f̃: U → ℝ^{2} konform (f̃ wie in a)).

Aufgabe 3 (4 Punkte) Sei wieder U ⊂ ℂ offen und f : U → ℂ eine Funktion mit f(x + iy) =: u(x, y) + iv(x, y) wobei u, v ∈ C^{1}(U ⊂ ℝ^{2}, ℝ). Zeigen Sie: Falls die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind, d.h. falls

\frac{∂u}{∂x} = \frac{∂v}{∂y} und \frac{∂u}{∂y} = −\frac{∂v}{∂x}

auf U gilt, so ist f holomorph.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Sei π wie in der Vorlesung definiert. Dann gelten

e^{πi/2} = i, e^{πi} = −1, e^{3πi/2} = −i und e^{2πi} = 1.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 05.05.2010 bis 11:15 Uhr.