Übungsaufgaben zur Vorlesung Funktionentheorie SS 10, Serie 1 PD Dr. M. Simon 21.April 2010 Florian Link

Aufgabe 1 (4 Punkte)

a) Sei z ∈ ℂ\{0}. Zeigen Sie, dass gilt

\frac{1}{z} = \frac{z̄}{|z|^{2}} .

b) Für a ∈ ℂ beliebig existiert ein z ∈ ℂ mit z^{2} = a. Geben Sie alle Lösungen von z^{2} = a an! Hinweis: Man kann x, y, m, n ∈ ℝ suchen mit (x + iy)^{2} = m + in.

c) Zeigen Sie für alle a, b ∈ ℂ:

i) −|a| ≤ Re(a) ≤ |a| und − |a| ≤ Im(a) ≤ |a| ii) |a − b| ≥ ||a| − |b||.

Aufgabe 2 (zu Proposition 2.5). (4 Punkte) Weisen Sie nach:

a) (ℂ, d_{ℂ}) ist vollständig

b) Seien (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} Folgen in ℂ.

i) a_{n} → a ∈ ℂ und b_{n} → b ∈ ℂ ⇒ a_{n} · b_{n} → a · b.

ii) a_{n} → a ∈ ℂ und b_{n} → b ∈ ℂ\\{0\} ⇒ \frac{a_{n}}{b_{n}} ⟶^{n→∞} \frac{a}{b}

(\frac{a_{n}}{b_{n}} ist wohldefiniert für n groß genug).

iii) |a_{n}| ⟶^{n→∞} |a| ∈ ℝ.

iv) |a_{n}| ≤ C < ∞ für alle n ∈ ℕ. Dann existiert eine Teilfolge (a_{n_{j}})_{j∈ℕ} von

(a_{n})_{n∈ℕ} und ein a ∈ ℂ, so dass a_{n_{j}} ⟶^{j→∞} a.

Aufgabe 3 (Holomorphe Funktionen). (4 Punkte) Seien f : V → ℂ und g : U → ℂ holomorph, wobei U, V ⊂ ℂ offen. Zeigen Sie:

a) f ∘ g : U ∩ g^{−1}(V) → ℂ ist holomorph und es gilt (f ∘ g)′(z) = f′(g(z)) · g′(z) für alle z ∈ U ∩ g^{−1}(V). Warum ist U ∩ g^{−1}(V) offen?

b) Sei f̂ : V̄ → ℂ, f̂(z) := f(z̄). Angenommen, es existiere ein a ∈ V mit f′(a) ≠ 0. Zeigen Sie, dass in diesem Fall f̂ nicht holomorph ist!

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 28.04.2010 bis 11:15 Uhr.