Übungsaufgaben zur Vorlesung Funktionentheorie SS 10, Serie 4 PD Dr. M. Simon 12.Mai 2010 Florian Link

Aufgabe 1 (Existenz einer Stammfunktion). (4 Punkte) Sei U ⊂ ℂ eine offene zusammenhängende Menge und f : U → ℂ eine stetige Abbildung mit

∫_{γ} f(z)dz = 0

für alle geschlossenen Integrationswege γ : [a, b] → U. Zeigen Sie: Für beliebiges aber fixiertes p ∈ U ist F : U → ℂ, definiert durch

F (ω) := ∫_{γ_{ω}} f(z)dz

holomorph mit F′(ω) = f(w), wobei hier γ_{ω} ein beliebiger Integrationsweg von p nach ω in U ist. Bemerkung: In der Vorlesung wurde schon gezeigt, dass F wohldefiniert ist.

Aufgabe 2 (Parametrisierung nach Bogenlänge). (4 Punkte) Sei γ : [a, b] → ℂ stetig differenzierbar mit |γ′| ≠ 0. Zeigen Sie: Es existiert eine stetig differenzierbare Umparametrisierung σ : [0, L] → [a, b], so dass γ̃ := γ∘σ : [0, L] → ℂ

\left|{ \atop γ′}\right| ≡ 1

erfüllt, wobei L := ∫_{a}^{b}|γ′(s)|ds (die Bogenlänge von γ) sei.

Aufgabe 3 (Wegzusammenhang). (4 Punkte) Sei G := {t^{−1}e^{it}|t ∈ ℝ^{+}} ⊂ ℂ und U := ℂ\(G ∪ {0}).

i) Zeigen Sie:

a) U ist offen

b) U ist zusammenhängend

ii) Für eine Menge X ⊂ ℂ (nicht notwendigerweise offen) sagen wir: X ist wegzusammenhängend, falls es für alle p, q ∈ X einen stetigen Weg γ : [a, b] → X gibt mit γ(a) = p und γ(b) = q. Ist V := ℂ\G wegzusammenhängend? Beweisen Sie Ihre Aussage!

Aufgabe 4 (4 Punkte) Für U := ℂ\ℝ^{+} sei g : U → ℂ eine auf U stetige und auf U\{0} (bitte wenden!) holomorphe Lösung von (g(z))^{k} = z (vgl. Serie 3, Aufgabe 4 iii)) - z.B. leistet g(z) := |z|^{1/k} exp(i arg(z)/k) das Gewünschte. Berechnen Sie für beliebiges p ∈ U und beliebigen Integrationsweg γ : [a, b] → U von 0 nach p das Wegintegral

G(p) := ∫_{γ} g(z)dz.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 19.05.2010 bis 11:15 Uhr.